Julia，对数学符号真太友好了。

前面的笔记中，我曾穿插了些相关的符号计算，本文作为一个汇总，并且未来的一些有特点的代码，我也将汇总于此，用作备忘。

用Julia进行张量符号计算的关键：1）先要写出（多重）数组友好的公式，然后用Julia实现之； 2）使用了SymPy，外加Julia本身的语法优势。

我曾想过将代码封装成函数，但发现直接用代码似乎更好。首先代码不复杂，其次， 暴露代码细节还能和数学公式相互对照，不容易出错。 有种“所见即所得”的感觉。

李变换群，就是李群作用于流形，这种“作用”其实就是变换，这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现，或 李群的表示。

一般线性群 \(GL(m)\) ，全体可逆线性映射的集合。

正交群 \(O(m)\) ，正定度规下，全体保度规线性映射的集合。【正定度规下，保度规 \(\Longrightarrow\) 保内积。】

洛伦兹群 \(O(1,3)\) ，正交归一基底下度规矩阵是 \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 时，全体保度规线性映射的集合。

酉群 \(U(m)\) ，就是复数域中的全体保内积线性算符（即酉算符）的集合。

李群是分析流形对称性的重要工具。

从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。

李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。

通过指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。

李代数的结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。

符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。

一个具有约束的力学系的位形空间是一个微分流形。

拉格朗日力学其实就是个理论框架。

有限自由度系统可直接拉格朗日量描述。

场论（无限自由度系统）则可用拉格朗日密度描述。

流形上微积分的作用对象是微分形式。

普通微分对应微分形式的外微分，普通积分则对应微分形式在流形上的积分。

微积分基本定理对应流形上的Stokes定理。

流形上的Gauss定理则成为Stokes定理特例。

微分形式就是全反称全下指标张量，是流形上微积分的作用对象。

对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性，这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。

为流形上每个点选一个微分形式，就得到微分形式场。

流形的定向，由处处连续非零的 \(n\) 形式场（体元场）确定。

度规适配体元，就是正交归一基底下的分量为 \(\pm 1\) 的体元。右手系取1，左手系取-1。

利用适配体元引入霍奇星算子（求微分形式的对偶）。

用普通导数算符和抽象指标可简化欧氏空间上矢量代数公式的推导。

嵌入，就是"足够像"地映射到更高维流形“内部”。这种“内部”区域就是子流形。

超曲面，就是低一维的子流形。

法余矢，就是能够和超曲面矢量基底一起张成"母"流形的一个矢量基底所对应的对偶矢量基底。

法矢，就是存在度规情况下，用度规将法余矢的指标"提升"得到矢量。

诱导度规，就是和"母"流形度规保持"自然一致"的子流形度规。

投影映射，就是诱导度规“下降"一个指标，也是将"母"流形任意矢量投影到子流形切空间的映射。

Killing矢量场描述了(伪)黎曼流形的对称性，每一种对称性都与一个Killing矢量场相关联。

李导数是沿矢量场对张量场的导数，也是沿矢量场坐标线对张量分量的普通导数。

为了清晰定义李导数，引入了单参数微分同胚群 \(\phi:\mathbb{R}\times M\to M\) ，然后利用拉回映射及其逆映射 \(\phi_t^*=(\phi^{-1}_t)_*=(\phi_{-t})_*\) 将同一轨道上的 \(q=\phi(p)\) 点上的张量拉回成点 \(p\) 的张量，于是可以进行相加减，进而可以合理定义极限。

引入矢量场的适配坐标系，得到李导数在适配坐标系中的分量表达式。

然后，有李导数作用到任意张量的一般表达式。

最后，分析了李导数和方向导数的关系