流形

微分几何中的计算(Julia版 计划长期维护)

2020-02-24
| 微分几何 | | 流形 , julia , 张量 , 克氏符 , 黎曼曲率 , killing | Comment 评论

Julia,对数学符号真太友好了。

前面的笔记中,我曾穿插了些相关的符号计算,本文作为一个汇总,并且未来的一些有特点的代码,我也将汇总于此,用作备忘。

Julia进行张量符号计算的关键:1)先要写出(多重)数组友好的公式,然后用Julia实现之; 2)使用了SymPy,外加Julia本身的语法优势。

我曾想过将代码封装成函数,但发现直接用代码似乎更好。首先代码不复杂,其次, 暴露代码细节还能和数学公式相互对照,不容易出错。 有种“所见即所得”的感觉。

...

常用李群及其李代数

2020-02-21
| 微分几何 | | 流形 , 李群 , 李代数 , 正交群 , 洛伦兹群 , 酉群 | Comment 评论

一般线性群 \(GL(m)\) ,全体可逆线性映射的集合。

正交群 \(O(m)\) ,正定度规下,全体保度规线性映射的集合。【正定度规下,保度规 \(\Longrightarrow\) 保内积。】

洛伦兹群 \(O(1,3)\) ,正交归一基底下度规矩阵是 \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 时,全体保度规线性映射的集合。

酉群 \(U(m)\) ,就是复数域中的全体保内积线性算符(即酉算符)的集合。

...

李群李代数

2020-01-25
| 微分几何 | | 流形 , 李群 , 李代数 , 李括号 , , 指数映射 , 正则坐标 | Comment 评论

李群是分析流形对称性的重要工具。

从李群 \(G\) 自身来看,李群 \(G\) 也是一个流形。

李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ,在这切空间上定义双线性映射的李括号,以此作为切空间上的乘法,进而定义了李代数

通过指数映射,可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。

李代数的结构张量,则是李括号双线性特征的显式表现。

符号说明:由于本节讨论的矢量场,并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ,用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。

...

流形上的微分形式及其对偶

2020-01-22
| 微分几何 | | 流形 , 微分形式 , 楔积 , 定向 , 体元 | Comment 评论

微分形式就是全反称全下指标张量,是流形上微积分的作用对象。

对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性,这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。

为流形上每个点选一个微分形式,就得到微分形式场。

流形的定向,由处处连续非零的 \(n\) 形式场(体元场)确定。

度规适配体元,就是正交归一基底下的分量为 \(\pm 1\) 的体元。右手系取1,左手系取-1。

利用适配体元引入霍奇星算子(求微分形式的对偶)。

用普通导数算符和抽象指标可简化欧氏空间上矢量代数公式的推导。

...

子流形和超曲面

2020-01-21
| 微分几何 | | 流形 , 子流形 , 超曲面 , 嵌入 , 法余矢 , 法矢 , 诱导度规 , 投影映射 | Comment 评论

嵌入,就是"足够像"地映射到更高维流形“内部”。这种“内部”区域就是子流形

超曲面,就是低一维的子流形

法余矢,就是能够和超曲面矢量基底一起张成"母"流形的一个矢量基底所对应的对偶矢量基底。

法矢,就是存在度规情况下,用度规将法余矢的指标"提升"得到矢量。

诱导度规,就是和"母"流形度规保持"自然一致"的子流形度规。

投影映射,就是诱导度规“下降"一个指标,也是将"母"流形任意矢量投影到子流形切空间的映射。

...

流形上的李导数

2020-01-19
| 微分几何 | | 流形 , 李导数 , 方向导数 , 适配坐标系 | Comment 评论

李导数是沿矢量场对张量场的导数,也是沿矢量场坐标线对张量分量的普通导数。

为了清晰定义李导数,引入了单参数微分同胚群 \(\phi:\mathbb{R}\times M\to M\) ,然后利用拉回映射及其逆映射 \(\phi_t^*=(\phi^{-1}_t)_*=(\phi_{-t})_*\) 将同一轨道上的 \(q=\phi(p)\) 点上的张量拉回成点 \(p\) 的张量,于是可以进行相加减,进而可以合理定义极限。

引入矢量场的适配坐标系,得到李导数在适配坐标系中的分量表达式。

然后,有李导数作用到任意张量的一般表达式。

最后,分析了李导数和方向导数的关系

...