本篇主题是Casimir算符。

半单李群李代数的Casimir算符可以完全确定。

而非半单李群李代数的Casimir算符，只能算出独立Casimir算符的个数，具体形式似乎要靠猜测试探？？？？？

一旦确定了Casimir算符，可以仿照二次Casimir算符的本征值的计算方法确定对应本征值。

Dynkin图，可以完全确定“单根矢量几何”，所有根矢量都可用单根线性表出。

根系虽然不唯一，但这种不唯一性不会导致“几何”意义上的变化。

权，就是零根空间（嘉当子代数）所有基底的共同本征矢对应的本征根组成的矢量。而这个共同本征矢被称作权矢量。

非零根标准基底对应升降算符。正根对应升算符，负根对应降算符。

权矢量在升降算符的作用后，依然是权矢量，并且对应的权被提高或降低了。

如果某个权矢量被升算符作用后得零，那么该权矢量是最高权矢量，对应的权是最高权。

通过Dynkin图可衍生出不可约表示图，利用相关性质容易计算出不可约表示维度。

用图示方法梳理典型群。

一个半单李代数的结构由一组根向量决定。

所谓根矢量，就是在标准形式下，非零本征根在零根空间中的分量。

所谓标准形式，选择某个特定基底的李代数表示，这组特定基底满足：具有最多非重根数（实数根）。

所谓零根空间，就是零本征根（可能有重根）的所有本征矢量张成的空间。

所谓根系，就是半单李代数标准形式下的所有本征根，有时简称“根”。如果没有加粗，表示实数根 \(\alpha\) ；如果加粗了，表示根矢量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 。

嗅到一股量子力学的味道。

最后是根矢量图示法。

本篇草稿： https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0083.ipynb

李变换群，就是李群作用于流形，这种“作用”其实就是变换，这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现，或 李群的表示。

一般线性群 \(GL(m)\) ，全体可逆线性映射的集合。

正交群 \(O(m)\) ，正定度规下，全体保度规线性映射的集合。【正定度规下，保度规 \(\Longrightarrow\) 保内积。】

洛伦兹群 \(O(1,3)\) ，正交归一基底下度规矩阵是 \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 时，全体保度规线性映射的集合。

酉群 \(U(m)\) ，就是复数域中的全体保内积线性算符（即酉算符）的集合。

李群是分析流形对称性的重要工具。

从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。

李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。

通过指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。

李代数的结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。

符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。