本篇依次从Killing矢量场、张量（矩阵）、旋量三个角度考察闵氏时空的对称性。

最后，从旋量概念引入自旋概念。

本篇涉及的草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0080.ipynb

上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。

自旋系数，是和克氏符对标的概念。

引入了新的记号，复用度规符号 \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ a}}\) 来表示矢量基底； \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ AA'}}\) 表示泡利矩阵，复用旋量度规符号 \(\textcolor{red}{\epsilon_\Sigma^{\ \ A}}\) 来表示旋量基底;

张量指标和旋量指标混用。

本篇虽然看起来公式“巨复杂”，但是掌握了指标的提升、降低、置换、缩并，完全可以无脑写出。

上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。

本篇，引入旋量场导数算符和曲率旋量两个概念。

本篇限定讨论时空流形上的旋量分析，始终选择正交归一标架场（约定 \((-1,1,1,1)\) 度规）。特殊情况下，就是闵氏时空。

上一篇，引入旋量概念以及旋量代数。本篇在此基础上给出旋量的一个直观的几何解释。

本篇限定讨论闵氏时空上的旋量。

本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0077.ipynb

带度规流形任意点的切空间和平直空间没有数学上的差别，进而平直空间上发展起来的旋量都是可以移到带度规流形上而无需改变。

旋量概念是度规依赖的，进而可始终在正交归一基底下讨论。

旋量概念源自 \(\mathrm{SU}(2)\) 对 \(\mathrm{SO}(3)\) 是双重覆盖，将表示空间（或 时空）的旋转“劈”为两半，其中一半就是旋量空间上的逆变旋量，另一半是其共轭空间的共轭逆变旋量。

一个逆变矢量可以表示成一个逆变旋量与一个共轭逆变旋量的张量积。

一个协变矢量可以表示成一个协变旋量与一个共轭协变旋量的张量积。

引入了旋量的抽象指标表示，可以方便无歧义地进行相关的运算。

关于旋量运算的约定：1）旋量度规按指标左上右下缩并；2）泡利矩阵前加因子 \(1/\sqrt{2}\) 。

本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0076.ipynb

有了《辛群及其李代数》和《辛流形》的学习，关于辛流形上的哈密顿力学就水到渠成了。

首先，借助切丛上的拉格朗日量函数，构造一个特别的切丛到余切丛的同构映射。

然后，在构造这个同构映射中，对1-形式的动量作外微分，得到一个自然的辛构造，进而余切丛空间（相空间）成为辛流形。

这个同构映射的构造，实际对应Legendre变换，进而构造出余切丛上的哈密顿函数。

最后，利用《辛流形》的知识，得到一系列哈密顿力学的结论。

通过类比(维)黎曼流形掌握辛流形的基本概念。

辛构造，就是闭的反称度规。辛流形，就是配备了辛构造的流形。

具有相同维度的所有辛流形均局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。

辛矢量场是Killing矢量场的类似概念，是无穷小对称生成元。

如果 \(X^b\omega_{ba}\) 是恰当的，那么对应的辛矢量场 \(X^a\) 就是哈密顿矢量场。

泊松括号， 把哈密顿力学和辛流形联系到一起。

通过类比正交群掌握辛群的基本概念。

反称度规 \(s_{ab}\) ，是一个2-形式。只有偶数阶时，才是非奇异的。

辛群，是保反称度规的线性映射集合，也是李群。

辛群的元素，作为线性映射而言，就是正则变换。

辛群的李代数的元素，可以看成 \(S^{-1}\) 乘上一个对称矩阵。

如果知道所有对称性，原则上可以写出具体拉格朗日量。如果只知道部分对称性，也可根据Noether定理得知对称性所关联的守恒律。

Noether定理：每一个保持拉格朗日量不变的单参微分同胚群（对称性），必有运动方程组对应的一个首次积分（守恒律）。

套路：研究无穷小变换下的拉格朗日量变换。

然后，就是三个经典范例。

本文真是杀鸡用牛刀，但好处是彻底厘清了如何用对称性构造拉格朗日量的一般套路。

本文通过强算Killing方程的笨方法，来确定伽利略时空，特别是欧氏空间的完整对称性，进而得到无穷小生成元（变换），最后用这组无穷小变换在拉格朗日量上的不变性来确定拉格朗日量。