李群李代数伴随表示和Killing型、Casimir算符
评论
...同一李群（李代数）有无数表示，本篇侧重
伴随表示。对半单李代数而言，Killing型就是李代数上的度规，称作嘉当度规。
Casimir算符，就是和李代数任意元素对易的算符。
对称性
场及其对称性
...场的拉格朗日形式，保持明显的洛伦兹协变性。
场的哈密顿形式，依赖于时空的1+3分解，因为时间变量在
共轭动量密度中扮演了特殊的角色。有限维Noether定理，条件更松，每个单参微分同胚群对应一个守恒量。
场的Noether定理，有更严格的要求，每个单参等度规群对应一个守恒流。
闵氏时空对称性的三种观点
...本篇依次从Killing矢量场、张量（矩阵）、旋量三个角度考察闵氏时空的对称性。
最后，从旋量概念引入自旋概念。
本篇涉及的草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0080.ipynb
流形上的旋量和旋量场（自旋系数和克氏符）
...上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。
自旋系数，是和克氏符对标的概念。引入了新的记号，复用度规符号 \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ a}}\) 来表示
矢量基底； \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ AA'}}\) 表示泡利矩阵，复用旋量度规符号 \(\textcolor{red}{\epsilon_\Sigma^{\ \ A}}\) 来表示旋量基底;张量指标和旋量指标混用。
本篇虽然看起来公式“巨复杂”，但是掌握了指标的提升、降低、置换、缩并，完全可以无脑写出。
流形上的旋量和旋量场（导数算符和曲率）
...上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。
本篇，引入
旋量场导数算符和曲率旋量两个概念。本篇限定讨论时空流形上的旋量分析，始终选择正交归一标架场（约定 \((-1,1,1,1)\) 度规）。特殊情况下，就是闵氏时空。
流形上的旋量和旋量场（几何解释）
...上一篇，引入旋量概念以及旋量代数。本篇在此基础上给出旋量的一个直观的几何解释。
本篇限定讨论闵氏时空上的旋量。
本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0077.ipynb
流形上的旋量和旋量场（初步）
...带度规流形任意点的切空间和平直空间没有数学上的差别，进而平直空间上发展起来的旋量都是可以移到带度规流形上而无需改变。
旋量概念是度规依赖的，进而可始终在正交归一基底下讨论。
旋量概念源自 \(\mathrm{SU}(2)\) 对 \(\mathrm{SO}(3)\) 是双重覆盖，将表示空间（或 时空）的旋转“劈”为两半，其中一半就是旋量空间上的逆变旋量，另一半是其共轭空间的共轭逆变旋量。
一个逆变矢量可以表示成一个逆变旋量与一个共轭逆变旋量的张量积。
一个协变矢量可以表示成一个协变旋量与一个共轭协变旋量的张量积。
引入了旋量的抽象指标表示，可以方便无歧义地进行相关的运算。
关于旋量运算的约定：1）旋量度规按指标左上右下缩并；2）泡利矩阵前加因子 \(1/\sqrt{2}\) 。
本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0076.ipynb
对称性与守恒律（Noether定理）
...如果知道所有对称性，原则上可以写出具体拉格朗日量。如果只知道部分对称性，也可根据
Noether定理得知对称性所关联的守恒律。
Noether定理：每一个保持拉格朗日量不变的单参微分同胚群（对称性），必有运动方程组对应的一个首次积分（守恒律）。套路：研究无穷小变换下的拉格朗日量变换。
然后，就是三个经典范例。
流形视角下的牛顿力学(杀鸡用牛刀)
...本文真是杀鸡用牛刀，但好处是彻底厘清了如何用对称性构造拉格朗日量的一般套路。
本文通过强算Killing方程的笨方法，来确定伽利略时空，特别是欧氏空间的完整对称性，进而得到无穷小生成元（变换），最后用这组无穷小变换在拉格朗日量上的不变性来确定拉格朗日量。
基于抽象指标的张量分析
简介
抽象指标记号（英语：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。