在Julia环境中，使用FenicsPy.jl调用
FEniCS库，求解偏微分方程。
纳维-斯托克斯方程:
\[ \color{red}{\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\boldsymbol{u}=\frac{1}{\rho}\nabla\cdot \boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}} \]其中，张量
\(\boldsymbol{\sigma}\)
是应力张量, 取决于具体流体的特性假设，比如：牛顿流体。
连续性方程：
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \boldsymbol{u})=0 \] ...系统平台： Win10_64 + WSL2 + Ubuntu
目标：Python3.7+Julia1.5.3+JupyterLab+MatplotLib+SymPy+SciPy+FEniCS2019
以Julia作为我主要的使用语言，确保能调用Python的库
目前FEniCS不支持Windows，所以我选择 Win10+WSL+Ubuntu
目前FEniCS2019有问题（至少存在折磨我的问题），所以我选择FEniCS2018
FEniCS2019的问题已经解决，所以我还是选择FEniCS2019（详细见后）。
在Julia环境中，使用FenicsPy.jl调用
FEniCS库，求解偏微分方程。
范例而已， 本例提供的套路是通用的，大不了多看看文档。
关键的地方，我特意列出相关链接。
本文采用软件包： FEniCS。
...上一篇笔记，讨论了一个单独的三角单元。 本篇讨论，如何将任意给定平面区域刨分成三角单元序列。
本文用到了 python库scipy.spatial.Delaunay
参考文献： https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.Delaunay.html
...本文是有限元法基础之一：三角单元。
用 \(\color{red}{红色}\) 标注的公式，都给了完整的符号推导（基于Julia）。
参考文献： 微分方程数值解法（第4版）-李荣华＆刘播-高等教育出版社-2009
...有限元法可归结为如下几个步骤：
2）对解域进行刨分（可以是不均匀）
3）构造基函数（本篇采用基于线性插值的基函数）
4）推导出有限元方程
5）求解有限元方程
6）收敛性和误差估计
...
评论
# 奇怪：这个库必须放在最前面才能一次加载成功
using Plots
gr()
# 解决Colab不显示输出数学公式的问题
using Markdown: MD, LaTeX
function latex(expr)
expr |> sympy.latex |> LaTeX
end;
# 奇怪：这个库必须放在最前面才能一次加载成功
using Plots
gr()
Plots.GRBackend()
# 奇怪：这个库必须放在最前面才能一次加载成功
using Plots
# gr()
pyplot()
using SciPy
using LinearAlgebra
Plots.GRBackend()
...
Julia，对数学符号真太友好了。前面的笔记中，我曾穿插了些相关的符号计算，本文作为一个汇总，并且未来的一些有特点的代码，我也将汇总于此，用作备忘。
用
Julia进行张量符号计算的关键：1）先要写出（多重）数组友好的公式，然后用Julia实现之； 2）使用了SymPy，外加Julia本身的语法优势。我曾想过将代码封装成函数，但发现直接用代码似乎更好。首先代码不复杂，其次， 暴露代码细节还能和数学公式相互对照，不容易出错。 有种“所见即所得”的感觉。