半单李代数的Casimir不变算符
评论
...本篇主题是Casimir算符。
半单李群李代数的Casimir算符可以完全确定。
而非半单李群李代数的Casimir算符，只能算出独立Casimir算符的个数，具体形式似乎要靠猜测试探？？？？？
一旦确定了Casimir算符，可以仿照二次Casimir算符的本征值的计算方法确定对应本征值。
微分几何
半单李代数的根系、权系和Dynkin图
...
Dynkin图，可以完全确定“单根矢量几何”，所有根矢量都可用单根线性表出。根系虽然不唯一，但这种不唯一性不会导致“几何”意义上的变化。
权，就是零根空间（嘉当子代数）所有基底的共同本征矢对应的本征根组成的矢量。而这个共同本征矢被称作权矢量。非零根标准基底对应升降算符。正根对应升算符，负根对应降算符。
权矢量在升降算符的作用后，依然是权矢量，并且对应的权被提高或降低了。如果某个
权矢量被升算符作用后得零，那么该权矢量是最高权矢量，对应的权是最高权。通过
Dynkin图可衍生出不可约表示图，利用相关性质容易计算出不可约表示维度。
半单李代数的标准形式
...用图示方法梳理典型群。
一个半单李代数的结构由一组
根向量决定。所谓
根矢量，就是在标准形式下，非零本征根在零根空间中的分量。所谓
标准形式，选择某个特定基底的李代数表示，这组特定基底满足：具有最多非重根数（实数根）。所谓
零根空间，就是零本征根（可能有重根）的所有本征矢量张成的空间。所谓
根系，就是半单李代数标准形式下的所有本征根，有时简称“根”。如果没有加粗，表示实数根 \(\alpha\) ；如果加粗了，表示根矢量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 。嗅到一股量子力学的味道。
最后是根矢量图示法。
本篇草稿： https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0083.ipynb
李群李代数伴随表示和Killing型、Casimir算符
...同一李群（李代数）有无数表示，本篇侧重
伴随表示。对半单李代数而言，Killing型就是李代数上的度规，称作嘉当度规。
Casimir算符，就是和李代数任意元素对易的算符。
流形上的旋量和旋量场（自旋系数和克氏符）
...上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。
自旋系数，是和克氏符对标的概念。引入了新的记号，复用度规符号 \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ a}}\) 来表示
矢量基底； \(\textcolor{red}{g_\mu^{\ \ AA'}}\) 表示泡利矩阵，复用旋量度规符号 \(\textcolor{red}{\epsilon_\Sigma^{\ \ A}}\) 来表示旋量基底;张量指标和旋量指标混用。
本篇虽然看起来公式“巨复杂”，但是掌握了指标的提升、降低、置换、缩并，完全可以无脑写出。
流形上的旋量和旋量场（导数算符和曲率）
...上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。
本篇，引入
旋量场导数算符和曲率旋量两个概念。本篇限定讨论时空流形上的旋量分析，始终选择正交归一标架场（约定 \((-1,1,1,1)\) 度规）。特殊情况下，就是闵氏时空。
流形上的旋量和旋量场（几何解释）
...上一篇，引入旋量概念以及旋量代数。本篇在此基础上给出旋量的一个直观的几何解释。
本篇限定讨论闵氏时空上的旋量。
本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0077.ipynb
流形上的旋量和旋量场（初步）
...带度规流形任意点的切空间和平直空间没有数学上的差别，进而平直空间上发展起来的旋量都是可以移到带度规流形上而无需改变。
旋量概念是度规依赖的，进而可始终在正交归一基底下讨论。
旋量概念源自 \(\mathrm{SU}(2)\) 对 \(\mathrm{SO}(3)\) 是双重覆盖，将表示空间（或 时空）的旋转“劈”为两半，其中一半就是旋量空间上的逆变旋量，另一半是其共轭空间的共轭逆变旋量。
一个逆变矢量可以表示成一个逆变旋量与一个共轭逆变旋量的张量积。
一个协变矢量可以表示成一个协变旋量与一个共轭协变旋量的张量积。
引入了旋量的抽象指标表示，可以方便无歧义地进行相关的运算。
关于旋量运算的约定：1）旋量度规按指标左上右下缩并；2）泡利矩阵前加因子 \(1/\sqrt{2}\) 。
本篇的计算草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0076.ipynb
辛流形
...通过类比(维)黎曼流形掌握辛流形的基本概念。
辛构造，就是闭的反称度规。辛流形，就是配备了辛构造的流形。具有相同维度的所有辛流形均
局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。
辛矢量场是Killing矢量场的类似概念，是无穷小对称生成元。如果 \(X^b\omega_{ba}\) 是
恰当的，那么对应的辛矢量场 \(X^a\) 就是哈密顿矢量场。
泊松括号， 把哈密顿力学和辛流形联系到一起。
辛群及其李代数
...通过类比正交群掌握辛群的基本概念。
反称度规\(s_{ab}\) ，是一个2-形式。只有偶数阶时，才是非奇异的。
辛群，是保反称度规的线性映射集合，也是李群。辛群的元素，作为线性映射而言，就是正则变换。
辛群的李代数的元素，可以看成 \(S^{-1}\) 乘上一个对称矩阵。