本篇紧接上一篇笔记《半单李代数的Casimir不变算符》。

分两种情况（有质量、无质量）探讨单粒子的物理态表示。

本篇及上一篇笔记涉及的代码：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0085.ipynb

同一李群（李代数）有无数表示，本篇侧重伴随表示。

对半单李代数而言，Killing型就是李代数上的度规，称作嘉当度规。

Casimir算符，就是和李代数任意元素对易的算符。

李变换群，就是李群作用于流形，这种“作用”其实就是变换，这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现，或 李群的表示。

一般线性群 \(GL(m)\) ，全体可逆线性映射的集合。

正交群 \(O(m)\) ，正定度规下，全体保度规线性映射的集合。【正定度规下，保度规 \(\Longrightarrow\) 保内积。】

洛伦兹群 \(O(1,3)\) ，正交归一基底下度规矩阵是 \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 时，全体保度规线性映射的集合。

酉群 \(U(m)\) ，就是复数域中的全体保内积线性算符（即酉算符）的集合。

李群是分析流形对称性的重要工具。

从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。

李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。

通过指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。

李代数的结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。

符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。