李群李代数

2020-01-25

| 微分几何 | | 流形 , 李群 , 李代数 , 李括号 , 群 , 指数映射 , 正则坐标 | 评论

李群是分析流形对称性的重要工具。

从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。

李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。

通过指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。

李代数的结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。

符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。