流形上的李导数

2020-01-19

| 微分几何 | | 流形 , 李导数 , 方向导数 , 适配坐标系 | 评论

李导数是沿矢量场对张量场的导数，也是沿矢量场坐标线对张量分量的普通导数。

为了清晰定义李导数，引入了单参数微分同胚群 \(\phi:\mathbb{R}\times M\to M\) ，然后利用拉回映射及其逆映射 \(\phi_t^*=(\phi^{-1}_t)_*=(\phi_{-t})_*\) 将同一轨道上的 \(q=\phi(p)\) 点上的张量拉回成点 \(p\) 的张量，于是可以进行相加减，进而可以合理定义极限。

引入矢量场的适配坐标系，得到李导数在适配坐标系中的分量表达式。

然后，有李导数作用到任意张量的一般表达式。

最后，分析了李导数和方向导数的关系