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Julia，对数学符号真太友好了。前面的笔记中，我曾穿插了些相关的符号计算，本文作为一个汇总，并且未来的一些有特点的代码，我也将汇总于此，用作备忘。
用
Julia进行张量符号计算的关键：1）先要写出（多重）数组友好的公式，然后用Julia实现之； 2）使用了SymPy，外加Julia本身的语法优势。我曾想过将代码封装成函数，但发现直接用代码似乎更好。首先代码不复杂，其次， 暴露代码细节还能和数学公式相互对照，不容易出错。 有种“所见即所得”的感觉。
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李变换群，就是李群作用于流形，这种“作用”其实就是变换，这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现，或李群的表示。
...一般线性群 \(GL(m)\) ，全体可逆线性映射的集合。
正交群 \(O(m)\) ，正定度规下，全体保度规线性映射的集合。【正定度规下，保度规 \(\Longrightarrow\) 保内积。】
洛伦兹群 \(O(1,3)\) ，正交归一基底下度规矩阵是 \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 时，全体保度规线性映射的集合。
酉群 \(U(m)\) ，就是复数域中的全体保内积线性算符（即酉算符）的集合。
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李群是分析流形对称性的重要工具。从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。
李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的
李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。通过
指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。李代数的
结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。
本系列直接跳过了 拓扑、流形、张量等基础概念。为此，我特意先用纯文字按我的理解对一些基础概念进行提要（可能不严谨，着重提要而已）。
所谓拓扑，就是开集族。 用集合的语言，通过三条公理严格定义开集。这三条公理就是：1）两个平凡开集；2）有限个开集交的封闭性；3）无限个开集并的封闭性。
所谓拓扑空间，就是定义了拓扑的集合。
所谓拓扑空间之间连续映射，就是指开集逆像必为开的映射。
...流形上微积分的作用对象是微分形式。
普通微分对应微分形式的外微分，普通积分则对应微分形式在流形上的积分。
微积分基本定理对应流形上的Stokes定理。
流形上的Gauss定理则成为Stokes定理特例。
...微分形式就是全反称全下指标张量，是流形上微积分的作用对象。
对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性，这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。
为流形上每个点选一个微分形式，就得到微分形式场。
流形的定向，由处处连续非零的 \(n\) 形式场（体元场）确定。
度规适配体元，就是正交归一基底下的分量为 \(\pm 1\) 的体元。右手系取1，左手系取-1。
利用适配体元引入霍奇星算子（求微分形式的对偶）。
用普通导数算符和抽象指标可简化欧氏空间上矢量代数公式的推导。
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嵌入，就是"足够像"地映射到更高维流形“内部”。这种“内部”区域就是子流形。
超曲面，就是低一维的子流形。
法余矢，就是能够和超曲面矢量基底一起张成"母"流形的一个矢量基底所对应的对偶矢量基底。
法矢，就是存在度规情况下，用度规将法余矢的指标"提升"得到矢量。
诱导度规，就是和"母"流形度规保持"自然一致"的子流形度规。
投影映射，就是诱导度规“下降"一个指标，也是将"母"流形任意矢量投影到子流形切空间的映射。
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Killing矢量场描述了(伪)黎曼流形的对称性，每一种对称性都与一个Killing矢量场相关联。
...李导数是沿矢量场对张量场的导数，也是沿矢量场坐标线对张量分量的普通导数。
为了清晰定义李导数，引入了
单参数微分同胚群\(\phi:\mathbb{R}\times M\to M\) ，然后利用拉回映射及其逆映射 \(\phi_t^*=(\phi^{-1}_t)_*=(\phi_{-t})_*\) 将同一轨道上的 \(q=\phi(p)\) 点上的张量拉回成点 \(p\) 的张量，于是可以进行相加减，进而可以合理定义极限。引入矢量场的适配坐标系，得到李导数在适配坐标系中的分量表达式。
然后，有李导数作用到任意张量的一般表达式。
最后，分析了李导数和方向导数的关系
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