流形间的映射

2020-01-19

| 微分几何 | | 流形 , 推前映射 , 拉回映射 , 延拓 , 微分同胚 | 评论

流形间的点映射 \(\phi\) ，可以看作对点的推前映射 \(\phi=\phi_*\) ；对张量(场) \(T\) 的拉回映射 \(\phi^*\) ，可看成该张量(场) \(T\) 与某种推前映射 \(\phi_*\) 的复合映射 \(\phi^*T=T\circ\phi_*\) ；对张量(场) \(T\) 的推前映射 \(\phi_*\) ，可看成该张量(场) \(T\) 与某种拉回映射 \(\phi^*\) 的复合映射 \(\phi_*T=T\circ\phi^*\) 。

黎曼曲率张量

2020-01-18

| 微分几何 | | 流形 , 曲率 , 对易子 , 导数算符 , julia | 评论

曲率概念的意义

导数算符对易子 \([\nabla_a,\nabla_b]=\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a\) ：对标量场的作用结果为０(无挠性决定的)，但对一般张量场未必为０。

黎曼曲率张量就是这种非对易性的表现。

流形上的平移

2020-01-17

| 微分几何 | | 流形 , 平移 , 方向导数 , 联络 , 导数算符 , 克氏符 , 测地线 | 评论

平移是路径无关的吗？

我们知道，欧氏空间的平移是路径无关的，任意两个位置，平移的结果是唯一的。

那么在流形上呢？结论是：流形上的平移是路径依赖的。只需要一个例子就足以说明，如图：

流形上的导数算符

2020-01-15

| 微分几何 | | 流形 , 导数算符 , 克氏符 | 评论

定义

导数算符，就是欧氏空间我们所熟悉的 \(\vec\nabla\) ，作用于标量场 \(f\) 就是梯度 \(\vec\nabla f\) ，作用于矢量场 \(\vec v\) 再缩并就是散度 \(\vec\nabla \cdot \vec v\) 。欧氏空间是有度规的，我们知道在有度规的情况下，度规可对张量指标进行“上升下降操作”，所以任何矢量都存在其自然对应的对偶矢量。如果要推广到任意流形，就必须分清楚矢量和对偶矢量（因为没有度规了）。

基于抽象指标的张量分析

2020-01-14

| 微分几何 | | 流形 , 抽象指标 , 张量 , 对称性 , 坐标变换 , julia | 评论

简介

抽象指标记号（英语：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。