...流形间的
点映射\(\phi\) ，可以看作对点的推前映射\(\phi=\phi_*\) ；对张量(场) \(T\) 的拉回映射\(\phi^*\) ，可看成该张量(场) \(T\) 与某种推前映射 \(\phi_*\) 的复合映射\(\phi^*T=T\circ\phi_*\) ；对张量(场) \(T\) 的推前映射\(\phi_*\) ，可看成该张量(场) \(T\) 与某种拉回映射 \(\phi^*\) 的复合映射\(\phi_*T=T\circ\phi^*\) 。
导数算符对易子
\([\nabla_a,\nabla_b]=\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a\)
：对标量场的作用结果为０(无挠性决定的)，但对一般张量场未必为０。
黎曼曲率张量就是这种非对易性的表现。
我们知道，欧氏空间的平移是路径无关的，任意两个位置，平移的结果是唯一的。
那么在流形上呢？结论是：流形上的平移是路径依赖的。只需要一个例子就足以说明，如图：
导数算符，就是欧氏空间我们所熟悉的
\(\vec\nabla\)
，作用于标量场
\(f\)
就是梯度
\(\vec\nabla f\)
，作用于矢量场
\(\vec v\)
再缩并就是散度
\(\vec\nabla \cdot \vec v\)
。欧氏空间是有度规的，我们知道在有度规的情况下，度规可对张量指标进行“上升下降操作”，所以任何矢量都存在其自然对应的对偶矢量。如果要推广到任意流形，就必须分清楚矢量和对偶矢量（因为没有度规了）。
抽象指标记号（英语：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。
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