微分几何

流形间的映射

2020-01-19
| 微分几何 | | 流形 , 推前映射 , 拉回映射 , 延拓 , 微分同胚 | Comment 评论

流形间的点映射 \(\phi\) ,可以看作对点的推前映射 \(\phi=\phi_*\) ;对张量(场) \(T\) 拉回映射 \(\phi^*\) ,可看成该张量(场) \(T\) 与某种推前映射 \(\phi_*\) 复合映射 \(\phi^*T=T\circ\phi_*\) ;对张量(场) \(T\) 推前映射 \(\phi_*\) ,可看成该张量(场) \(T\) 与某种拉回映射 \(\phi^*\) 复合映射 \(\phi_*T=T\circ\phi^*\)

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流形上的导数算符

2020-01-15
| 微分几何 | | 流形 , 导数算符 , 克氏符 | Comment 评论

定义

导数算符,就是欧氏空间我们所熟悉的 \(\vec\nabla\) ,作用于标量场 \(f\) 就是梯度 \(\vec\nabla f\) ,作用于矢量场 \(\vec v\) 再缩并就是散度 \(\vec\nabla \cdot \vec v\) 。欧氏空间是有度规的,我们知道在有度规的情况下,度规可对张量指标进行“上升下降操作”,所以任何矢量都存在其自然对应的对偶矢量。如果要推广到任意流形,就必须分清楚矢量和对偶矢量(因为没有度规了)。

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基于抽象指标的张量分析

2020-01-14
| 微分几何 | | 流形 , 抽象指标 , 张量 , 对称性 , 坐标变换 , julia | Comment 评论

简介

抽象指标记号(英语:abstract index notation)是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母(如T)表示张量相比,这种表示法能够显示张量的类型,同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量(张量在某一特定基底下的分量)表示张量不同,该表示法与特定的基底无关,可以表示出张量等式。

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