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频率派决策理论存在一个根本问题，即人们实际上无法计算风险函数，因为它依赖于知道真实的数据分布。 （相比之下，贝叶斯后验预期损失总是可以计算，因为它更取决于数据，而不是
\(\theta^{\\*}\)
。）但是，有一个设置可以避免这个问题，这就是预测可观察性量的任务，而不是估计隐藏变量或参数。 也就是说，不再关注形如
\(L(\boldsymbol{\theta},\delta(\mathcal{D}))\)
的损失函数，其中
\(\boldsymbol{\theta}\)
是真实但未知的参数，而
\(\delta(\mathcal{D})\)
是我们的估计器; 而是让我们关注形如
\(L(y,\delta(\boldsymbol{x}))\)
的损失函数，其中
\(y\)
是真实但未知的响应，
\(\delta(\boldsymbol{x})\)
是给定输入
\(\boldsymbol{x}\)
的预测。 在这种情况下，频率派风险变为
\[
R(p_{\\*},\delta)\overset{\Delta}{=}\mathbb{E}_{(\boldsymbol{x},y) \sim p_{\\*}}\left[L(y,\delta(\boldsymbol{x}))\right]=\sum_{\boldsymbol{x}}{\sum_y{L(y,\delta(\boldsymbol{x}))p_{\\*}(\boldsymbol{x},y)}} \tag{6.47}
\]
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在频率派或经典决策理论中，存在一个损失函数和一个拟然，但没有先验因而没有后验或后验预期损失。 因此，与贝叶斯情况不同，没有自动推导出最优估计器的方法。 相反，在频率派方法中，我们可以自由选择我们想要的任何估计器或决策程序
\(\delta：\mathcal{X} \to \mathcal{A}\)
。
选择估计器后，我们将其预期损失或风险定义如下：
\[
R(\theta^{\\*},\delta)\overset{\Delta}{=}\mathbb{E}_{p(\tilde{\mathcal{D}}|\theta^{\\*})}\left[L(\theta^{\\*},\delta(\tilde{\mathcal{D}}))\right]=\int{L(\theta^{\\*},\delta(\tilde{\mathcal{D}}))p(\tilde{\mathcal{D}}|\theta^{\\*})d\tilde{\mathcal{D}}} \tag{6.9}
\]
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离散随机模型
考虑
\(N+1\)
个资产，经历
\(T\)
个时间单位的，关于价格的离散随机过程：
|
前续 |
当前 |
后续 |
| 时刻 |
\(t-1\)
|
\(t\)
|
\(t+1\)
|
| 状态 |
\(\phi(s,t)\)
|
\(s=\phi(z,t+1)\)
|
\(z\)
|
时刻
\(t\)
的每个状态
\(s\)
代表：在时刻
\(t\)
的历史价格路径。如果给定时刻
\(t\)
的状态
\(s\)
，那么
\(s\)
有确定的前续状态记为
\(\phi(s,t)\)
，而
\(s\)
的后续状态是不确定的，将
\(s\)
所有可能的后续状态集记为
\(\Omega(s,t)\)
；并且将时刻
\(t\)
的所有状态集记为
\(\Phi(t)\)
。
...
CAPM提供一致预期收益率，多因子模型可以帮助控制风险。本章讨论如何进行预期收益率的预测，并概述如何将预测转化成投资组合。
业绩基准
业绩基准组合的别称：标杆、规范组合。业绩基准组合是投资管理机构化的产物。
弃用市场组合，转而使用业绩基准组合。 在新的分析框架下，贝塔、残差风险都是相对某个业绩基准组合而言。
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标准差
书中介绍了风险的各种定义及其优劣，最终还是选择标准差作为本书的风险定义。
尽管标准差具有某些不足，只要我的假设中依赖或近似依赖正态分布，那么推荐标准差这个风险度量定义。因为它能满足我们普适，对称，灵活和可精确预测的要求。若无特殊要求，我们讨论的风险总是指收益率的年化标准差（以百分之一为单位）。
投资组合
\(r_P=\sum_i{w_i r_i}\)
的标准差：
\[
\begin{aligned}
\sigma_P & =\sqrt{\sum_{i,j}{\rho_{i,j}(w_i \sigma_i)(w_j \sigma_j)}} \\
& \le \sqrt{(\sum_i{w_i \sigma_i})^2} \\
& = \sum_i{w_i \sigma_i}
\end{aligned}
\]
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