流形上的旋量和旋量场（导数算符和曲率）

2020-04-02

| 微分几何 | | 流形 , 旋量 , 对称性 , 曲率 , 导数算符 |

上两篇，引入旋量概念以及旋量代数，以及旋量的一个直观的几何解释。

本篇，引入旋量场导数算符和曲率旋量两个概念。

本篇限定讨论时空流形上的旋量分析，始终选择正交归一标架场（约定 $$(-1,1,1,1)$$ 度规）。特殊情况下，就是闵氏时空。

旋量场

考虑一个时空流形 $(M,g_{ab})$ 。矢量、张量、旋量，都是某点 $p\in M$ 切空间 $$V_p$$ 上的概念。

对有度规的时空流形而言，我们总能在切空间 $$V_p$$ 找到一组正交归一的基底，这意味着切空间和平直闵氏时空无数学上的差异【见第一篇】。所以，当我们谈及闵氏时空时，可以理解成全局平直的闵氏时空，也可理解成时弯曲时空上某点的局域闵氏时空。

矢量和张量的概念是不依赖度规的，但旋量是度规依赖的。在前两篇中，我们约定依赖的闵氏度规是 $$(-1,1,1,1)$$ 的。所以，必须选择正交归一的基底场。

此外，旋量的分量的表示依赖于一个旋量空间 $(W,\epsilon_{AA'})$ 中选择一组基底 $(\omicron^A,\iota^A)$ 。

我们在每一点 $p\in M$ 都选择一个旋量，要求选择保持光滑连续性，那么就得到一个旋量场。事实上，旋量场就是时空流形 $$M$$ 到旋量空间 $$W$$ 的光滑映射。

旋量场的导数算符

在前面的约定下，存在与度规 $g_{ab}$ 唯一适配的的导数算符 $\nabla_a$ 。而 $\nabla_a$ 很像“协变矢量”，于是可将这个“协变矢量”所关联的“旋量张量” $\nabla_{AA'}$ 定义为旋量场的导数算符：

\boxed{\nabla_{AA'}\overset{\Delta}{=}\sigma^a_{\ \ AA'}\nabla_a}

具体而言，比如，当作用于协变矢量 $\omega_b$ 所关联旋量张量 $\omega_{BB'}$ 上时

\nabla_{AA'}\omega_{BB'}=\sigma^a_{\ \ AA'}\sigma^b_{\ \ BB'}\nabla_a \omega_{b}

根据这个定义，旋量导数算符 $\nabla_{AA'}$ 也满足：

1）线性的；
2）莱布尼兹律；
3）与缩并可交换；
4）可退化性： $v(f)=-v^{AA'}\nabla_{AA'}f$ ；
5）无挠性： $\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}f=\nabla_{BB'}\nabla_{AA'}f$ 。

此外， $\nabla_{AA'}$ 还满足：

i）“实数性”： $\overline{\nabla_{AA'}\psi^{\dots}_{\quad \dots}}=\nabla_{AA'}\bar{\psi}^{\dots}_{\quad \dots}$ ；
ii）“自动适配旋量度规”： $\nabla_{AA'}\epsilon_{BC}=0=\nabla_{AA'}\epsilon^{BC}$ 。

曲率旋量

已知算符 $[\nabla_a,\nabla_b]$ 是一个线性映射 $\mathscr{T}_p(0,1)\to\mathscr{T}_p(0,3)$ ，即代表一个张量 $R_{abc}^{\quad d}$ ，这就是黎曼曲率张量，改写成其关联的旋量形式

(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\omega_{CC'}=R_{AA'BB'CC'}^{\qquad \qquad DD'}\omega_{DD'}

此外，根据旋量导数算符的定义，对易算符 $[\nabla_a,\nabla_b]$ 所关联的旋量算符是

\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'}=\sigma^a_{\ \ AA'}\sigma^b_{\ \ BB'}[\nabla_a,\nabla_b]

据此可见，由 $[\nabla_a,\nabla_b]$ 的线性性可诱导出 $\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'}$ 的线性性，即是线性映射 $\mathscr{T}_p(0,1;0,0)\to \mathscr{T}_p(0,3;0,2)$ ，可用旋量张量 $\chi_{AA'BB'C}^{\quad \qquad D}$ 表示之，称为曲率旋量

\boxed{(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\omega_C=\chi_{AA'BB'C}^{\quad \qquad D}\omega_D}

曲率旋量 =》黎曼曲率张量

将旋量导数算符对易子作用在 $\omega_A\bar{\omega}_{A'}$ 上，利用旋量导数算符的莱布尼茨律及其“实数性”，不难推导出：

(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\ \omega_C\bar{\omega}_{C'}=\chi_{AA'BB'C}^{\quad \qquad D}\omega_D\bar{\omega}_{C'}+ \bar{\chi}_{AA'BB'C'}^{\quad \qquad D'}\omega_C\bar{\omega}_{D'}

将这个结果和黎曼曲率张量定义进行比较得知：

\boxed{R_{AA'BB'CC'}^{\qquad \qquad DD'}= \chi_{AA'BB'C}^{\quad \qquad D}\bar{\epsilon}_{C'}^{\ \ D'}+ \bar{\chi}_{AA'BB'C'}^{\quad \qquad D'}\epsilon_C^{\ D}}

黎曼曲率张量 =》曲率旋量

由于 $R_{abcd}$ 关于最后两个指标是反称的，依据指标对的反称分解恒等式，有

R_{AA'BB'CC'DD'}=\frac{1}{2}R_{AA'BB'(CD)X'}^{\quad \qquad \qquad X'}\bar{\epsilon}_{C'D'}+\frac{1}{2}R_{AA'BB'(C'D')X}^{\quad \qquad \qquad X}\epsilon_{CD}

通过比较得知【同时还利用了 $R_{abcd}$ 的"实数性"】：

\boxed{\chi_{AA'BB'CD}=\chi_{AA'BB'(CD)}=\frac{1}{2}R_{AA'BB'(CD)C'}^{\quad \qquad \qquad C'}}

曲率旋量的分解

$R_{abcd}$ 关于头两指标也是反称的，进而 $\chi_{AA'BB'CD}$ 关于头两组指标也是反称的，再次依据指标对的反称分解恒等式，有：

\boxed{\chi_{AA'BB'CD}=\Lambda_{ABCD}\bar{\epsilon}_{A'B'}+\Phi_{A'B'CD}\epsilon_{AB}}\\ \Lambda_{ABCD}=\frac{1}{2}\chi^{\ \qquad A'}_{(AB)A'\ \ CD}\\ \Phi_{A'B'CD}=\frac{1}{2}\chi^{\ \ \qquad A}_{(A'B')A\ \ CD}

有性质如下：

\boxed{\Lambda_{ABCD}=\Lambda_{(AB)(CD)}\quad \Phi_{A'B'CD}=\Phi_{(A'B')(CD)}}

将前面的结果全部带入，有

\Phi_{A'B'CD}=\frac{1}{4}\epsilon^{AB}\bar{\epsilon}^{C'D'}R_{(A'B')AB(CD)C'D'} \\ \Lambda_{ABCD}=\frac{1}{4}\bar{\epsilon}^{A'B'}\bar{\epsilon}^{C'D'}R_{(AB)A'B'(CD)C'D'}

进而，再根据 $R_{abcd}=R_{cdab}$ ，有性质如下：

\boxed{\begin{aligned}\bar{\Phi}_{ABC'D'}&=\Phi_{ABC'D'} \quad \text{实数性}\\ \quad \\ \Lambda_{ABCD}&=\Lambda_{CDAB}\end{aligned}}

Weyl旋量的构造

易证 $\epsilon^{AC}\Lambda_{ABCD}$ 是反称的，必定有一个乘子 $\epsilon_{BD}$ 。于是可以定义 $\Psi_{ABCD}$ ，我们将会看见，这就是Weyl旋量： $\boxed{\Psi_{ABCD}\overset{\Delta}{=}\Lambda_{ABCD}-\Lambda(\epsilon_{AC}\epsilon_{BD}+\epsilon_{BC}\epsilon_{AD})}\\ \quad \Lambda\overset{\Delta}{=}\frac{1}{6}\epsilon^{AC}\epsilon^{BD}\Lambda_{ABCD}$

如此构造的 $\Psi_{ABCD}$ ，必定满足：【依赖 $\epsilon^{AC}\Lambda_{ABCD}$ 的反称性】

\epsilon^{AC}\Psi_{ABCD}=0

再与 $\Lambda_{ABCD}$ 的对称性一起，蕴含着， $\Psi_{ABCD}$ 是全对称的：【暂时没证出来】

\Psi_{ABCD}=\Psi_{(ABCD)}

最后，根据 $R_{a[bcd]}=0$ ，及第一篇末尾的恒等式，可知：【暂时没证出来】

\bar{\Lambda}=\Lambda\quad \text{实数性}

因此，曲率旋量可以分解成：

\boxed{\chi_{AA'BB'CD}=\Psi_{ABCD}\bar{\epsilon}_{A'B'}+\Phi_{A'B'CD}\epsilon_{AB}+\Lambda(\epsilon_{AC}\epsilon_{BD}+\epsilon_{BC}\epsilon_{AD})\bar{\epsilon}_{A'B'}}

Weyl张量和Weyl旋量

进而，黎曼曲率张量可分解成：

\boxed{\begin{aligned}R_{AA'BB'CC'}^{\qquad \qquad DD'}=\Psi_{ABC}^{\ \ \quad D}\bar{\epsilon}_{A'B'}\bar{\epsilon}_{C'}^{\ \ D'}+\Phi_{A'B'C}^{\qquad D}\epsilon_{AB}\bar{\epsilon}_{C'}^{\ \ D'}\\ +\Lambda(\epsilon_{AC}\epsilon_{B}^{\ \ D}+\epsilon_{BC}\epsilon_{A}^{\ \ D})\bar{\epsilon}_{A'B'}\bar{\epsilon}_{C'}^{\ \ D'} + C.C\end{aligned}}

其中， $$C.C.$$ 代表前面部分的复共轭。

里奇张量 $R_{ac}$ 对应的分解： $\boxed{R_{AA'CC'}=-2\Phi_{A'C'AC}+6\Lambda\epsilon_{AC}\bar{\epsilon}_{A'C'}}$

进一步缩并有：

\begin{aligned}R&=g^{AA'CC'}R_{AA'CC'}\\&=-\epsilon^{AC}\bar{\epsilon}^{AC}(-2\Phi_{A'C'AC}+6\Lambda\epsilon_{AC}\bar{\epsilon}_{A'C'})\\&=-24\Lambda\end{aligned}

所以， $\boxed{R=-24\Lambda}$ ；而 $-2\Phi_{A'C'AC}$ 对应 $R_{ac}-\dfrac{1}{4}Rg_{ac}$ 。

事实上，黎曼曲率张量分解中有一部分，对应Weyl张量 $C_{abcd}$ ：

\boxed{C_{AA'BB'CC'DD'}=\Psi_{ABCD}\bar{\epsilon}_{A'B'}\bar{\epsilon}_{C'D'}+\bar{\Psi}_{A'B'C'D'}\epsilon_{AB}\epsilon_{CD}}

其中， $\Psi_{ABCD}$ 称之为Weyl旋量。这就是如此命名的原因。

旋量导数算符对易子的作用

旋量导数算符对易子对应于曲率旋量。

我们已知

(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\ T_{CC'}=\chi_{AA'BB'C}^{\quad \qquad D}T_{DC'}+ \bar{\chi}_{AA'BB'C'}^{\quad \qquad D'}T_{CD'}

利用旋量度规 $\epsilon^{AB}$ ，很容易将指标提升【注意有负号】

(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\ T^{CC'}=-\chi_{AA'BB'D}^{\quad \qquad C}T^{DC'}- \bar{\chi}_{AA'BB'D'}^{\quad \qquad C'}T^{CD'}

更复杂点

\boxed{\begin{aligned}&(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\ T^{CC'}_{\ \quad DD'}\\ =&-\chi_{AA'BB'E}^{\ \quad \qquad C}\ T^{EC'}_{\ \quad DD'}-\bar{\chi}_{AA'BB'E'}^{\ \quad \qquad C'}\ T^{CE'}_{\ \quad DD'}\\ & \quad +\chi_{AA'BB'D}^{\ \quad \qquad E}T^{CC'}_{\ \quad ED'}+\bar{\chi}_{AA'BB'D'}^{\ \quad \qquad E'}\ T^{CC'}_{\ \quad DE'}\end{aligned}}

更一般地【作用于 $$(k,l;k',l')$$ 型旋量张量上】

\boxed{\begin{aligned}&(\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'})\ T^{C_1\dots C'_{k'}}_{\ \ \qquad D_1\dots D'_{l'}}\\ =&-\sum_{i=1}^k{\chi_{AA'BB'E}^{\ \quad \qquad C_i}T^{C_1\dots E \dots C'_{k'}}_{\ \qquad \qquad D_1\dots D'_{l'}}}-\sum_{i=1}^{k'}{\bar{\chi}_{AA'BB'E'}^{\ \quad \qquad C'_i}T^{C_1\dots E' \dots C'_{k'}}_{\ \qquad \qquad D_1\dots D'_{l'}}}\\ & +\sum_{i=1}^l{\chi_{AA'BB'D_i}^{\ \quad \qquad E}T_{\quad \qquad D_1\dots E \dots D'_{l'}}^{C_1\dots C'_{k'}}}+\sum_{i=1}^{l'}{\bar{\chi}_{AA'BB'D'_i}^{\ \quad \qquad E'}T_{\quad \qquad D_1\dots E' \dots D'_{l'}}^{C_1\dots C'_{k'}}}\end{aligned}}

导数算符对易子的分解

依据指标对的反称分解恒等式，还可直接对旋量场导数算符对易子进行分解：

\boxed{\nabla_{AA'}\nabla_{BB'}-\nabla_{BB'}\nabla_{AA'}=\bar{\epsilon}_{A'B'}\Delta_{AB}+\epsilon_{AB}\Delta_{A'B'}}\\ \Delta_{AB}\overset{\Delta}{=}\nabla_{X'(A}\nabla_{B)}^{\quad X'}

导数算符对易子的相关算符

将导数算符对易子分解式，曲率旋量分解式，带入曲率旋量的定义式

(\bar{\epsilon}_{A'B'}\Delta_{AB}+\epsilon_{AB}\Delta_{A'B'})\omega_C=(\Lambda_{ABC}^{\ \ \quad D}\bar{\epsilon}_{A'B'}+\Phi_{A'B'C}^{\qquad D}\epsilon_{AB})\omega_D

上式两边同乘上 $\epsilon^{AB}$ 或 $\bar{\epsilon}^{A'B'}$ 进行缩并得

\boxed{\begin{aligned}\nabla_{A(A'}\nabla_{B')}^{\quad A}\omega_C&=\Phi_{A'B'C}^{\qquad D}\omega_D \\ &\quad \\ \nabla_{A'(A}\nabla_{B)}^{\quad A'}\omega_C&=\Lambda_{ABC}^{\ \ \quad D}\omega_D\\ &=\Psi_{ABC}^{\ \ \quad D}\omega_D-2\Lambda\epsilon_{C(A}\omega_{B)}\end{aligned}}

此外还有【两边同乘 $\epsilon^{AB}$ 再缩并易证】

\boxed{\nabla_{A'[A}\nabla_{B]}^{\ \ A'}=\frac{1}{2}\epsilon_{AB}\Box} \\ \Box \overset{\Delta}{=}\nabla_{AA'}\nabla^{AA'}=-\nabla_a\nabla^a

这些算符的作用

作用于 $$(0,n;0,0)$$ 型旋量张量上

\boxed{\begin{aligned}&\nabla_{A'(A}\nabla_{B)}^{\ \ A'}\ \omega_{C_1\dots C_n}=\sum_{i=1}^n{\Lambda_{ABC_i}^{\ \ \quad D}\omega_{C_1\dots D \dots C_n}}\\ = & \sum_{i=1}^n\left\{\Psi_{ABC_i}^{\ \ \quad D}\omega_{C_1\dots D \dots C_n}-2\Lambda\epsilon_{C_i(A}\omega_{|C_1\dots C_{i-1}|B)C_{i+1} \dots C_n}\right\}\end{aligned}}

作用于 $$(1,1;1,1)$$ 型旋量张量上

\boxed{\begin{aligned}&\nabla_{A(A'}\nabla_{B')}^{\ \ A}\ T^{CC'}_{\ \quad DD'}\\ =&-\Phi_{A'B'E}^{\qquad C}\ T^{EC'}_{\ \quad DD'}-\bar{\Lambda}_{A'B'E'}^{\qquad C'}\ T^{CE'}_{\ \quad DD'}\\ & \quad +\Phi_{A'B'D}^{\qquad E}T^{CC'}_{\ \quad ED'}+ \bar{\Lambda}_{A'B'D'}^{\ \qquad E'}\ T^{CC'}_{\ \quad DE'}\end{aligned}}

和

\boxed{\begin{aligned}&\nabla_{A'(A}\nabla_{B)}^{\ \ A'}\ T^{CC'}_{\ \quad DD'}\\ =&-\Lambda_{ABE}^{\ \ \quad C}\ T^{EC'}_{\ \quad DD'}-\Phi_{ABE'}^{\qquad C'}\ T^{CE'}_{\ \quad DD'}\\ & +\Lambda_{ABD}^{\ \ \quad E}T^{CC'}_{\ \quad ED'}+ \Phi_{ABD'}^{\qquad E'}\ T^{CC'}_{\ \quad DE'}\end{aligned}}