黎曼曲率张量
评论
曲率概念的意义
导数算符对易子
\([\nabla_a,\nabla_b]=\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a\)
：对标量场的作用结果为０(无挠性决定的)，但对一般张量场未必为０。
黎曼曲率张量就是这种非对易性的表现。
探究导数算符对易子
先把目标集中在 \((\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\) 作用在对偶矢量 \(\omega_c\) 上的情况上。
首先，下式左边展开后相减，再根据无挠性，得到： \[ (\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)(f \omega_c)=f (\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c,\quad \forall f\in\mathscr{F}_M,\omega_c\in\mathscr{F}_M(0,1) \] 选择在 \(p\) 点相等的对偶矢量 \(\omega_b,\omega'_b,\left. \omega_b\right|_p=\left.\omega'_b\right|_p\) ，于是 \(\Omega_b\overset{\Delta}{=}\omega'_b-\omega_b, \quad \left.\Omega_b\right|_p=0\) ，引入坐标系 \({x^\mu}\) 并使坐标域含 \(p\) ，于是有： \[ \begin{aligned}\left[(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\Omega_c\right]_p &=\left[(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)[\Omega_\mu(dx^\mu)_c]\right]_p &\text{张量展开}\\ &=\left.\Omega_\mu\right|_p(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)(dx^\mu)_c &\text{利用上式}\\ &=0 &\text{根据约定}\end{aligned} \] 这说明，对流形 \(M\) 上的任意一点 \(p\) 而言， \(\left.[\nabla_a,\nabla_b]\omega_c\right|_p\) 只依赖于 \(\omega_c\) 在 \(p\) 点的值，而与 \(\omega_c\) 其它部分无关。
引入曲率张量概念
上一段的结论说明
\([\nabla_a,\nabla_b]\)
是一个线性算符(映射)：
\[
\begin{aligned} [\nabla_a,\nabla_b]&:&\mathscr{T}_p(0,1)&\to& &\mathscr{T}_p(0,3) \\ & &\left.\omega_c\right|_p&\mapsto& &\left.[\nabla_a,\nabla_b]\omega_c\right|_p\end{aligned}
\]
可以将这个线性映射用张量表示，也就是说
\([\nabla_a,\nabla_b]\)
对应一个张量
\(R^{\quad d}_{abc}\)
，满足：
\[
\left.[\nabla_a,\nabla_b]\omega_c\right|_p=\left.R^{\quad d}_{abc}\omega_d\right|_p
\]
考虑到
\(p\)
点选择的任意性，于是有：
\[
[\nabla_a,\nabla_b]\omega_c=R^{\quad d}_{abc}\omega_d,\quad \forall \omega_c\in\mathscr{F}_M(0,1)
\]
我们称
\(R^{\quad d}_{abc}\)
为黎曼曲率张量。
只要选定了导数算符，就可以谈黎曼曲率张量。
如果有度规张量场
\(g_{ab}\)
，那么导数算符
\(\nabla_a\)
就是与
\(g_{ab}\)
适配的，进而有唯一确定的黎曼曲率张量场。
黎曼曲率张量场为０的度规，称之为平直度规。欧氏度规和闵氏度规都是平直度规。
导数算符作用张量场的非对易性
根据矢量场与对偶矢量场相互作用的结果是标量场的事实，可推出导数算符 \(\nabla_a\) 作用于矢量场 \(v^a\) 的非对易性： \[ [\nabla_a,\nabla_b]v^c=-R^{\quad c}_{abd}v^d,\quad \forall v^c\in\mathscr{F}_M(1,0) \] 进而有： \[ [\nabla_a,\nabla_b]T^{c_1 \dots c_k}_{\ \qquad d_1 \dots c_l}=-\sum_{i=1}^k{R^{\quad c_i}_{abe}T^{c_1 \dots e \dots c_k}_{\ \qquad \quad d_1 \dots d_l}}+\sum_{j=1}^l{R^{\quad e}_{abd_j}T^{c_1 \dots c_k}_{\ \qquad d_1 \dots e \dots d_l}} \]
黎曼曲率张量的性质
- \(R^{\quad d}_{abc}=-R^{\quad d}_{bac} , \quad R^{\ \ \quad d}_{(ab)c}=0\)
- 循环恒等式： \( R^{\ \ \quad d}_{[abc]}=0\)
- 比安基恒等式： \( \nabla_{[a} R^{\ \quad e}_{bc]d}=0\)
- \(R_{abcd}=-R_{abdc},\quad R_{ab(cd)}=0\)
- \(R_{abcd}=-R_{cdab}\)
注意：最后两个性质，引入度规 \(g_{ab}\) ， \(R_{abcd}\overset{\Delta}{=}g_{de}R^{\quad e}_{abc}\)
黎曼曲率张量的迹
我们知道：相似矩阵有相同的迹，所有相似矩阵都对应同一个线性变换，进而对应同一个张量。所以这迹也就是张量的迹,其值为：
\(T^a_{\ \ a}=g^{ac}T_{ac}\)
，是张量
\(T^a_b\)
的迹，也是张量
\(T_{ab}\)
的迹。
类似地，也可以对
\(R_{abcd}\)
进行求"迹"，根据黎曼张量的性质和度规的对称性，对６个可能分别计算：
由此可见，这６个"迹"，只有一个是独立的，选择其中一个定义为里奇张量：
\[
R_{ac}\overset{\Delta}{=}g^{bd}R_{abcd}=R^{\ \quad b}_{abc}
\]
于是有：
\[
\begin{aligned}g^{ab}R_{abcd}&=0,\quad g^{cd}R_{abcd}=0\\ g^{ac}R_{abcd}&=R_{bd}, \quad g^{bd}R_{abcd}=R_{ac} \\ g^{ad}R_{abcd}&=-R_{bc},\quad g^{bc}R_{abcd}=-R_{ad} \end{aligned}
\]
对里奇张量
\(R_{ac}\)
进一步缩并，得到标量曲率
\(R\overset{\Delta}{=}g^{ac}R_{ac}\)
。 此外，里奇张量也是对称的：
\[
R_{ac}=R_{ca}, \quad R_{[ac]}=0
\]
黎曼曲率张量
\(R^{\quad d}_{abc}\)
的无迹部分，叫做外尔张量
\(C_{abcd}\)
：
\[
C_{abcd}\overset{\Delta}{=}R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c} R_{d]b}-g_{b[c} R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R g_{a[c} g_{d]b}, \quad \dim(M)\ge 3
\]
外尔张量有如下性质：
- \(C_{abcd}=-C_{bacd}=-C_{abdc}=C_{cdab},\quad C_{[abc]d}=0\)
- \(C_{abcd}\) 的各种迹都为０.
由度规计算黎曼曲率
首先计算，用双重导数算符作用于对偶矢量场，再取反称部分，计算结果： \[ \begin{aligned}\nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_c&=\partial_{[a}\nabla_{b]}\omega_c-\Gamma^{d}_{\ \ [ab]}\nabla_d\omega_c-\Gamma^{d}_{\ \ [a|c|}\nabla_{b]}\omega_d \\ &=\partial_{[a}\nabla_{b]}\omega_c-\Gamma^{d}_{\ \ c[a}\nabla_{b]}\omega_d \\ &=\partial_{[a}\partial_{b]}\omega_c-\omega_d\partial_{[a}\Gamma^d_{\ \ b]c}-\Gamma^d_{\ \ c[b}\partial_{a]}\omega_d-\Gamma^{d}_{\ \ c[a}\partial_{b]}\omega_d+\Gamma^{e}_{\ \ c[a}\Gamma^{d}_{\ \ b]e}\omega_d \\ &=-\omega_d\partial_{[a}\Gamma^d_{\ \ b]c}-2\Gamma^{d}_{\ \ c([a}\partial_{b])}\omega_d+\Gamma^{e}_{\ \ c[a}\Gamma^{d}_{\ \ b]e}\omega_d \\ &=-\omega_d\partial_{[a}\Gamma^d_{\ \ b]c}+\Gamma^{e}_{\ \ c[a}\Gamma^{d}_{\ \ b]e}\omega_d \\ &=(-\partial_{[a}\Gamma^d_{\ \ b]c}+\Gamma^{e}_{\ \ c[a}\Gamma^{d}_{\ \ b]e})\omega_d \end{aligned} \] 而根据黎曼张量的定义有： \[ R^{\quad d}_{abc}\omega_d=2\nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_c \] 进而有黎曼曲率张量的表达式(考虑到对偶矢量 \(\omega_d\) 是任意选择的)： \[ R^{\quad d}_{abc}=-2\partial_{[a}\Gamma^d_{\ \ b]c}+2\Gamma^{e}_{\ \ c[a}\Gamma^{d}_{\ \ b]e} \] 对应的黎曼曲率张量分量是(将反称部分展开)： \[ R^{\ \quad \rho}_{\mu \upsilon \sigma}=\Gamma^\rho_{\ \ \mu \sigma,\upsilon}-\Gamma^\rho_{\ \ \upsilon \sigma,\mu}+\Gamma^\lambda_{\ \ \sigma\mu}\Gamma^\rho_{\ \ \upsilon \lambda}-\Gamma^\lambda_{\ \ \sigma\upsilon }\Gamma^\rho_{\ \ \mu \lambda} \] 最后，得到里奇张量的分量表达式： \[ R_{\mu \sigma}=R^{\ \quad \upsilon}_{\mu \upsilon \sigma}=\Gamma^\upsilon_{\ \ \mu \sigma,\upsilon}-\Gamma^\upsilon_{\ \ \upsilon \sigma,\mu}+\Gamma^\lambda_{\ \ \sigma\mu}\Gamma^\upsilon_{\ \ \upsilon \lambda}-\Gamma^\lambda_{\ \ \sigma\upsilon }\Gamma^\upsilon_{\ \ \mu \lambda} \]
范例
求度规 \(ds^2=z^{-1/2}(-dt^2+dz^2)+z(dx^2+dy^2)\) 的黎曼张量在 \(\{t,x,y,z\}\) 系的全部分量。
用julia解决这个问题。首先设置变量，设置度规张量，并计算逆度规：
using SymPy
@vars t x y z real=true
xv = [t,x,y,z]
# 度规张量及其逆
g = sympy.eye(4) .* [-z^(-1//2),z,z,z^(-1//2)]
gi = inv(g);
根据度规计算克氏符:
# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*gi[σ,ρ]*(diff(g[μ,ρ],xv[υ])+
diff(g[υ,ρ],xv[μ])-diff(g[μ,υ],xv[ρ]))
for μ in 1:4,υ in 1:4 ,σ in 1:4]
for ρ in 1:4)
# 显示所有分量（剔除了０分量和对称分量）
[symbols("Γ^{$σ}_{$μ$υ}")⩵Γ[μ,υ,σ]
for μ in 1:4,υ in 1:4 ,σ in 1:4
if Γ[μ,υ,σ]!=0 && μ<=υ].T
根据克氏符计算黎曼曲率张量:
# 根据克氏符计算黎曼曲率张量
R=[diff(Γ[μ,σ,ρ],xv[υ])-diff(Γ[υ,σ,ρ],xv[μ])+
sum(Γ[μ,σ,λ]*Γ[υ,λ,ρ]-Γ[υ,σ,λ]*Γ[μ,λ,ρ]
for λ in 1:4)
for μ in 1:4,υ in 1:4 ,σ in 1:4,ρ in 1:4]
# 显示所有分量（剔除了０分量和反对称分量）
reshape([symbols("R_{$μ$υ$σ}^{$ρ}")⩵R[μ,υ,σ,ρ]
for μ in 1:4,υ in 1:4 ,σ in 1:4,ρ in 1:4
if R[μ,υ,σ,ρ]!=0 && μ<=υ],(3,4))
根据黎曼曲率张量计算里奇张量:
# 根据黎曼曲率张量计算里奇张量
RR=[sum(R[μ,υ,σ,υ] for υ in 1:4)
for μ in 1:4,σ in 1:4]
