辛流形

2020-02-28

| 微分几何 | | 流形 , 辛流形 , 哈密顿 , 泊松 |

通过类比(维)黎曼流形掌握辛流形的基本概念。

辛构造，就是闭的反称度规。辛流形，就是配备了辛构造的流形。

具有相同维度的所有辛流形均局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。

辛矢量场是Killing矢量场的类似概念，是无穷小对称生成元。

如果 $X^b\omega_{ba}$ 是恰当的，那么对应的辛矢量场 $$X^a$$ 就是哈密顿矢量场。

泊松括号，把哈密顿力学和辛流形联系到一起。

辛流形的辛构造

上一节，给出了这是和(对称)度规类似的反称度规的概念，也是一个非奇异2-形式。在此基础上可以定义辛构造。

$$2n$$ 维光滑流形 $$M$$ 上的2-形式 $\boldsymbol{\omega}\in\Lambda_M(2)$ ，若满足以下两个条件：

1） $\boldsymbol{\omega}$ 是反称度规。【 $\boldsymbol{\omega}$ 是非奇异的】
2） $\boldsymbol{\omega}$ 是闭的。【 $d\boldsymbol{\omega}=0$ 】

则称 $\boldsymbol{\omega}$ 为流形 $$M$$ 上的辛结构。只满足条件1）的，叫近辛结构。只满足条件2）的，则叫予辛结构。

配有辛结构的光滑流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ ，称为辛流形。

注意：上一节用 $s_{ab}$ 表示反称度规，目的是强调和(对称)度规 $g_{ab}$ 的类比，从本节开始用 $\boldsymbol{\omega}$ 表示反称度规，目的是强调这也是一个微分形式。

辛流形的反称内积

首先， $\boldsymbol{\omega}$ 作为反称度规，上一节的相关性质，也是辛流形的性质。

此外，在流形 $$M$$ 上每点 $$p$$ 的切空间 $$V_p$$ 上，从双线性映射 $V_p\times V_p\to \mathbb{R}$ 的角度看 $\boldsymbol{\omega}$ ，实际上定义了 $$V_p$$ 上两个矢量的反称内积：

\boldsymbol{\omega}(u,v)=-\boldsymbol{\omega}(v,u),\quad \forall u,v\in V_p

$\boldsymbol{\omega}$ 的非奇异性则要求：

\boldsymbol{\omega}(u,v)=0,\quad \forall v\in V_p \quad\Longrightarrow \quad u=0

辛流形的正则坐标

上一节已经涉及了正则基底，本节自然也期望存在一个局域坐标系 $\{q^\mu,p_\mu\}$ ，使得 $\boldsymbol{\omega}$ 也有完全一样的简单形式：

\boldsymbol{\omega}=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b

很幸运，Danboux定理保证了这一点。所以这个特殊的局域坐标 $\{q^\mu,p_\mu\}$ 称作正则坐标，也被称作Danboux坐标。

此外，这里 $p_\mu$ 取下标形式的原因：首先，这个特殊坐标下 $p_\mu=\delta_{\mu\upsilon}p^\upsilon\backsimeq p^\mu$ ，含义一样；其次，也为了和哈密顿力学中正则坐标保持一致的习惯。

矢量场到对偶矢量场的自然同构

流形 $$M$$ 即使没有任何额外结构，矢量场和对偶矢量场也是同构的。但这种同构映射有多种选择，没有谁更特殊。一旦配置了某种结构，就可能存在一种特别自然的同构映射，比如，(对称)度规所诱导的同构映射。

类似的，对辛流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ 而言， $\boldsymbol{\omega}$ 不但可以看成 $\boldsymbol{\omega}:V_p\times V_p\to \mathbb{R}$ 的内积映射，作为 $$(0,2)$$ 型张量，也可以看成是映射 $\omega_{ab}:V_p\to V^*_p$ ：

\begin{aligned}\omega_{ab}:&V_p\to V^*_p\\ & v^a\mapsto v_a\overset{\Delta}{=}\omega_{ab}v^b\end{aligned}

对应也有逆映射 $\omega^{ab}:V^*_p\to V_p$ ：

\begin{aligned}\omega^{ab}:&V^*_p\to V_p\\ & v_a\mapsto v^a=\omega^{ab}v_b\end{aligned}

所以，反称度规 $\boldsymbol{\omega}$ 是一个非常自然的 $V_p\to V^*_p$ 的同构映射；进而反称度规场 $\boldsymbol{\omega}$ 也是矢量场到对偶矢量场的自然同构 $\omega_{ab}:\mathscr{F}_M(1,0)\to\mathscr{F}_M(0,1)$ 。

同时，和度规 $g_{ab}$ 一样， $\boldsymbol{\omega}=\omega_{ab}$ 也具有"提升"和"下降"指标的作用。

辛构造的特别之处（与对称度规相比）

对(伪)黎曼流形 $(M,g_{ab})$ 而言，在每点 $p\in M$ 的切空间 $$V_p$$ 上，度规张量的分量矩阵都能通过坐标变换化成对角形式 $g_{\mu\upsilon}=\delta_{\mu\upsilon}$ 。但是，一般不能在 $$p$$ 点邻域上处处化为对角形（同一套坐标变换下），除非曲率张量系数全为0。

但辛流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ 有些不一样，由于辛结构 $\boldsymbol{\omega}$ 是局域可积的，可局域辛同胚于标准型，即可在任意点的邻域通过保辛结构的坐标变换化为标准型：

(\omega_{\mu\upsilon})=\begin{pmatrix} 0 & -I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{pmatrix}\\ \quad \\ \boldsymbol{\omega}=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b

这是Danboux定理所保证的。这说明：具有相同维度的所有辛流形均局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。也就是说辛流形实际上是整体的。

辛矢量场(和Killing矢量场类比)

辛群 $S\!p(n)$ 作为辛流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ 上得变换群，即保辛结构变换的群，其上的李代数 $\mathscr{S\!p}(n)$ 的元素 $X^a\in\mathscr{F}_M(1,0)$ 就是这个变换群的无穷小生成元。

如果辛结构沿这个无穷小生成元 $$X^a$$ 的李导数为0，即满足：

\mathscr{L}_X\boldsymbol{\omega}=0

那么称这个生成元 $$X^a$$ 就是辛矢量场，也就是无穷小对称生成元。

辛矢量场的集合记作 $\mathrm{Sym}(M)$ 。考虑 $X,Y\in \mathrm{Sym}{M}$ ，由于 $[\mathscr{L}_X,\mathscr{L}_Y]=\mathscr{L}_{[X,Y]}$ ，可以证明 $$[X,Y]$$ 也是辛矢量场。这说明 $\mathrm{Sym}(M)$ 形成 $$M$$ 上向量场李代数 $\mathscr{X}(M)$ 的李子代数。

根据李导数算子 $$L_X$$ 、外微分算子 $$d$$ 、缩并算子 $$i_X$$ 之间的Cartan公式有：

\begin{aligned}\mathscr{L}_X \boldsymbol{\omega}&=(d \circ i_X+i_X \circ d)\boldsymbol{\omega}, \quad i_X\omega_{a_1\dots a_r}\overset{\Delta}{=}X^{a_1}\omega_{a_1\dots a_r}\\ &=(d \circ i_X)\boldsymbol{\omega},\qquad d\boldsymbol{\omega}=0 \\ &=d ( X^b\omega_{ba})\end{aligned}

这说明有如下等价说法：

\begin{aligned}&X^a\in \mathscr{S\!p}(n)\text{是无穷小对称生成元}\\ \quad\Leftrightarrow\quad &X^a\text{是辛矢量场}\\ \quad\Leftrightarrow\quad &\mathscr{L}_X\boldsymbol{\omega}=0\\ \quad\Leftrightarrow\quad &d ( X^b\omega_{ba})=0\qquad X^b\omega_{ba}\text{是闭1-形式}\end{aligned}

而(伪)黎曼流形 $(M,g_{ab})$ 对应的无穷小对称生成元，是指满足 $\mathscr{L}_v g_{ab}=0$ 的矢量场 $$v^a$$ ，即Killing矢量场。

此外，独立Killing矢量场的个数最多是 $n(n+1)/2,\quad n=\dim M$ 。但是，独立辛矢量场的个数有无限多个。

哈密顿矢量场

我们已经知道一个微分形式是恰当的，那必然是闭的。但如果是闭的，未必是恰当的。

对辛矢量场 $X^a\in\mathrm{Sym}(M)$ 而言， $X^b\omega_{ba}$ 是闭的。如果同时是恰当的，即存在标量场 $f\in\mathscr{F}_M$ 满足：

\begin{aligned}&X^b\omega_{ba}=-\frac{1}{2}df,\quad \exist f\in \mathscr{F}_M \\ \Longleftrightarrow\quad & \boxed{X^a=\frac{1}{2}\omega^{ab}(df)_b=\frac{1}{2}\omega^{ab}\nabla_b f}\overset{\Delta}{=}X^a_f\end{aligned}

此时，我们称是 $$X^a$$ 是 $$f$$ 的哈密顿矢量场。哈密顿矢量场的集合记作 $\mathrm{Ham}(M)$ ，也构成李代数。

根据微分形式闭的和恰当的的关系，我们知道哈密顿矢量必定是辛矢量，但反之不一定。既有如下李代数的包含链：

\mathrm{Ham}(M)\subset\mathrm{Sym}(M)\subset\mathscr{X}(M)

泊松括号

在辛流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ 上，可以定义任意两个标量场 $$f$$ 和 $$g$$ 的泊松括号：

\begin{aligned}\{f,g\}&\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2}\omega^{ab}(df)_a(dg)_b,\quad \forall f,g\in\mathscr{F}_M \\ &=\frac{1}{2}\omega^{ab}(\nabla_a f)(\nabla_b g) \\ &=X^a_g\nabla_a f=-X^a_f\nabla_a g\\ &=-\frac{1}{2}\omega_{ab} X^a_f X^b_g \end{aligned}

这样定义的泊松括号具有如下性质：

1）实双线性： $\{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha\{f,h\}+\beta\{g,h\},\quad \forall \alpha,\beta\in\mathbb{R},f,g,h\in\mathscr{F}_M$
2）反对称： $\{f,g\}=-\{g,f\}$
3）雅可比恒等式： $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$
4）莱布尼茨规则： $\{f,gh\}=g\{f,h\}+\{f,g\}h$

头三条性质保证了 $\mathscr{F}_M$ 形成李代数。

局域正则坐标表示

若在辛流形 $(M,\boldsymbol{\omega})$ 上选择局域正则坐标，于是有：

\boxed{\begin{aligned}\text{辛结构}\qquad& \boldsymbol{\omega}=\omega_{ab}=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b\\ &\omega^{ab}= 2\left[\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a\left(\frac{\partial}{\partial p_\mu}\right)^b-\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^b\left(\frac{\partial}{\partial p_\mu}\right)^a\right]\\ \text{哈密顿矢量场}\qquad& X^a_f=\frac{\partial f}{\partial p_\mu}\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a-\frac{\partial f}{\partial q^\mu}\left(\frac{\partial}{\partial p_\mu}\right)^a\\ \text{泊松括号}\qquad& \{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial p_\mu}\frac{\partial g}{\partial q^\mu}-\frac{\partial f}{\partial q^\mu}\frac{\partial g}{\partial p_\mu} \end{aligned}}