李变换群

李变换群

2020-02-23
| 微分几何 | | 流形 , 李群 , 李代数 , 变换群 , julia | Comment 评论

李变换群,就是李群作用于流形,这种“作用”其实就是变换,这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现,或 李群的表示

李变换群

前面已经接触过了单参微分同胚群 \(\phi:\mathbb{R}\times M \to M\) 。只需要把 \(\mathbb{R}\) 换成李群 \(G\) 就得到了李变换群。

考虑李群 \(G\) 和流形 \(M\) \(C^\infty\) 映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 成为上的一个李变换群,若

  • 1) \(\forall g\in G,\quad \sigma_g:M\to M\) 是微分同胚;
  • 2) \(\sigma_{gh}=\sigma_g \circ \sigma_h,\quad \forall g,h\in G\)

\(\sigma\) 可诱导出另外两个映射(方框中):

\[ \sigma(g,p)=\boxed{\sigma_g(p)=\sigma_p(g)},\quad \forall g\in G, p\in M \]

条件2)保证了,从李群 \(G=\{g\}\) 到李变换群 \(\{\sigma_g:M\to M|g\in G\}\) 的自然映射 \(g\mapsto\sigma_g\) 是一个同态映射。这个同态映射成为 \(G\) 的一个实现,则称 \(M\) 实现空间。 如果这个同态是同构,则称 \(G\) 忠实实现

可以说,李群 \(G\) 决定了流形 \(M\) 上的一个李变换群。

单参微分同胚群

特别地,李群 \(G\) 的每个单参子群决定了流形 \(M\) 上的一个单参微分同胚群

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如图,李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的一个元素 \(A_e\) 唯一确定一个单参数子群 \(\gamma(t)\) 。在流形 \(M\) 上任意选一点 \(p\) ,在单参子群 \(\gamma\in G\) 的作用下,得到流形 \(M\) 上的一个单参微分同胚群 \((\sigma_p\circ\gamma) (t)\) 。 进而在流形 \(M\) \(p\) 点确定唯一的矢量 \(\xi_p\) \[ \xi_p=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\sigma_p(\gamma(t))=\sigma_{p*}\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\gamma(t)=\sigma_{p*}A_e \] 由此可见:

对于给定的李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) ,李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的每个元素 \(A_e\) 对应流形 \(M\) 上的一个 \(C^\infty\) 矢量场 \(\xi\) 。 故有映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \{\xi\}\)

Killing矢量场

进一步考虑一个特殊情况:带度规流形 \((M,g_{ab})\) ,而李群 \(G\) \(M\) 的等度规群,即李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) 的每个 \(\sigma_g:M\to M\) 都是等度规映射。

这时,李群 \(G\) 的每个单参子群 \(\gamma(t)\) 产生的单参微分同胚群 \(\{\sigma_{\gamma(t)}|t\in \mathbb{R}\}\) 升格为单参等度规群。其轨道切矢 \(\xi\) 就是 \((M,g_{ab})\) 上的Killing矢量场。即,

\[ \chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K} \]

Killing矢量场,在对易子为李括号下,也成为李代数。 事实上,映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 对李括号保到只相差一个符号的程度:

\[ \chi([A_e,B_e])=-[\chi(A_e),\chi(B_e)],\quad \forall A_e,B_e\in \mathscr{G} \]

于是有必要映入新的映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) ,能够保李括号:

\[ \psi(A_e)=-\chi(A_e),\quad A_e\in \mathscr{G}\\ \psi[A_e,B_e]=[\psi(A_e),\psi(B_e)],\quad \forall A_e,B_e\in \mathscr{G} \]

进而保证了,映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同态映射。

如果的每个Killing矢量场都是完备矢量场,则每个都能产生单参等度规群,进而等度规群 \(G\) (因而其李代数 \(\mathscr{G}\) )与 \(\mathscr{K}\) 的维度相同,于是 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 就是李代数同构。

“另类"Killing矢量场

前面谈的是基于等度规映射Killing矢量场。并且在此基础上有三条性质:

  • 1) \(\mathscr{K}=\{\xi\}\) 是矢量空间;
  • 2)矢量场对易子作为李括号使得 \(\mathscr{K}\) 成为李代数;
  • 3)映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 在相差一个负号的意义下“保李括号”。

但我们发现,即使不要求等度规,矢量场集合 \(\{\xi\}\) 也能满足这三条。所以不妨也可直接将 \(\{\xi\}\) 定义称Killing矢量场,称之为流形 \(M\) 上关于李群 \(G\) 的Killing矢量场。

以后说到“Killing矢量场”,如果没有加定语说明,表示原生意义上的Killing矢量场;如果加了如上定语约束,则是这里的“另类”Killing矢量场。

当然,如果对映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 不加要求, \(\dim \mathscr{K}\) 可能小于 \(\dim \mathscr{G}\)

但是,如果映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 有效的,即

\[ \sigma_g(p)=p \quad \Rightarrow \quad g=e,\quad \forall p \in M \]

(这个条件等价于 \(g\mapsto \sigma_g\) 是一一映射, 还等价于 \(G\) \(M\) 上的实现是忠实的), 那么 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是同构映射,进而 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同构。

计算李代数结构常数

利用基于等度规映射的Killing矢量场计算等度规群的李代数的结构常数。

这里部分步骤,我可以用Julia来计算, 以后有类似的更复杂的,可以复制这段代码,作点修改就可以计算了。

【范例目标】:3维欧氏空间 \((\mathbb{R}^3,\delta_{ab})\) 中的2维球面 \((S^2,h_{ab})\)

首先,这个球面的等度规群是三维空间转动群 \(G=\mathrm{SO}(3)\)

其次,计算这个球面的诱导度规 \(h_{ab}\) :

using SymPy

@vars θ φ real=true

# 坐标变换
X=[sin(θ)*cos(φ),sin(θ)*sin(φ),cos(θ)]
Q=[θ,φ]

# 三维欧氏度规矩阵g
g = sympy.eye(3) .* [1,1,1]

# 计算二维球面上的诱导度规矩阵h,及其逆hi
M=[diff(x,q) for x in X, q in Q]
h= simplify.(sympy.Matrix(M'*g*M))
hi = inv(h)
h

计算结果: \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} θ\end{bmatrix}\)

第三步:根据度规计算克氏符,然后列出所有Killing方程:

# 待求的Killing矢量场的分量
ξ = SymFunction("ξ^1,ξ^2")

# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*hi[σ,ρ]*(diff(h[μ,ρ],Q[υ])+
            diff(h[υ,ρ],Q[μ])-diff(h[μ,υ],Q[ρ])) 
        for μ in 1:2in 1:2in 1:2] 
    for ρ in 1:2)

# 列出所有独立Killing方程组
eqs = [(0diff(sum(h[υ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2),Q[μ])+
        diff(sum(h[μ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2),Q[υ])-
        2*sum(Γ[μ,υ,σ]*sum(h[σ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2) 
            for σ in 1:2)) 
    for μ in 1:2in 1:2  if μ  υ ]

结果是: \(\begin{bmatrix}0 = 2 \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )} + \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = 2 \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )} \sin{\left (θ \right )} \cos{\left (θ \right )} + 2 \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )}\end{bmatrix}\)

第四步,求解这组方程的通解。

首先通过观察,很容易得到第一组特解:

\[ (\xi_3)^a=-\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_3=(0,-1) \]

然后,由方程1和3有 \(\xi^1(\theta,\varphi)=f(\varphi),\quad \xi^2(\theta,\varphi)=g(\theta)h(\varphi)\) ,回代方程3,并分离变量得:

\[ -\frac{f(\varphi)}{h'(\varphi)}=\frac{g(\theta)}{\cot(\theta)}=C \]

\(C=0\) ,只有全0平凡解。所以必须 \(C\ne0\) ,于是有:

\[ f(\varphi)=-C \ h'(\varphi),\quad g(\theta)=C \cot(\theta) \]

回代方程2得:

\[ h''(\varphi)+h(\varphi)=0 \]

得到 \(h(\varphi)\) 得两个特解: \(\sin(\varphi),\quad \cos(\varphi)\)

最后,回代并整理得到剩余两个特解:

\[ (\xi_2)^a=-\cos\theta \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^a+\cot\theta \sin\theta\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_2=(-\cos\theta,\cot\theta\sin\theta)\\ (\xi_1)^a=\sin\theta \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^a+\cot\theta \cos\theta\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_1=(\sin\theta,\cot\theta\cos\theta) \]

这三个特解,可选作Killing矢量场得一组基矢。

第五步,获得李代数得结构常数表达式 (只要写出,上面这三个基矢量的三组对易子即可)

\[ [\xi_1,\xi_2]^a=(\xi_3)^a,\quad [\xi_2,\xi_3]^a=(\xi_1)^a,\quad [\xi_3,\xi_1]^a=(\xi_2)^a \]