李变换群
李变换群
,就是李群作用于流形,这种“作用”其实就是变换,这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现
,或李群的表示
。
李变换群
前面已经接触过了单参微分同胚群
\(\phi:\mathbb{R}\times M \to M\)
。只需要把
\(\mathbb{R}\)
换成李群
\(G\)
就得到了李变换群。
考虑李群
\(G\)
和流形
\(M\)
,
\(C^\infty\)
映射
\(\sigma:G\times M\to M\)
成为上的一个李变换群
,若
- 1) \(\forall g\in G,\quad \sigma_g:M\to M\) 是微分同胚;
- 2) \(\sigma_{gh}=\sigma_g \circ \sigma_h,\quad \forall g,h\in G\) 。
\(\sigma\) 可诱导出另外两个映射(方框中):
\[ \sigma(g,p)=\boxed{\sigma_g(p)=\sigma_p(g)},\quad \forall g\in G, p\in M \]条件2)保证了,从李群
\(G=\{g\}\)
到李变换群
\(\{\sigma_g:M\to M|g\in G\}\)
的自然映射
\(g\mapsto\sigma_g\)
是一个同态映射。这个同态映射成为
\(G\)
的一个实现
,则称
\(M\)
为实现空间
。 如果这个同态是同构,则称
\(G\)
为忠实实现
。
可以说,李群 \(G\) 决定了流形 \(M\) 上的一个李变换群。
单参微分同胚群
特别地,李群
\(G\)
的每个单参子群
决定了流形
\(M\)
上的一个单参微分同胚群
。
如图,李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的一个元素 \(A_e\) 唯一确定一个单参数子群 \(\gamma(t)\) 。在流形 \(M\) 上任意选一点 \(p\) ,在单参子群 \(\gamma\in G\) 的作用下,得到流形 \(M\) 上的一个单参微分同胚群 \((\sigma_p\circ\gamma) (t)\) 。 进而在流形 \(M\) 的 \(p\) 点确定唯一的矢量 \(\xi_p\) : \[ \xi_p=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\sigma_p(\gamma(t))=\sigma_{p*}\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\gamma(t)=\sigma_{p*}A_e \] 由此可见:
对于给定的李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) ,李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的每个元素 \(A_e\) 对应流形 \(M\) 上的一个 \(C^\infty\) 矢量场 \(\xi\) 。 故有映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \{\xi\}\)
Killing矢量场
进一步考虑一个特殊情况:带度规流形 \((M,g_{ab})\) ,而李群 \(G\) 是 \(M\) 的等度规群,即李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) 的每个 \(\sigma_g:M\to M\) 都是等度规映射。
这时,李群 \(G\) 的每个单参子群 \(\gamma(t)\) 产生的单参微分同胚群 \(\{\sigma_{\gamma(t)}|t\in \mathbb{R}\}\) 升格为单参等度规群。其轨道切矢 \(\xi\) 就是 \((M,g_{ab})\) 上的Killing矢量场。即,
\[ \chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K} \]Killing矢量场,在对易子为李括号下,也成为李代数。 事实上,映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 对李括号保到只相差一个符号的程度:
\[ \chi([A_e,B_e])=-[\chi(A_e),\chi(B_e)],\quad \forall A_e,B_e\in \mathscr{G} \]于是有必要映入新的映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) ,能够保李括号:
\[ \psi(A_e)=-\chi(A_e),\quad A_e\in \mathscr{G}\\ \psi[A_e,B_e]=[\psi(A_e),\psi(B_e)],\quad \forall A_e,B_e\in \mathscr{G} \]进而保证了,映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同态映射。
如果的每个Killing矢量场都是完备矢量场,则每个都能产生单参等度规群,进而等度规群 \(G\) (因而其李代数 \(\mathscr{G}\) )与 \(\mathscr{K}\) 的维度相同,于是 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 就是李代数同构。
“另类"Killing矢量场
前面谈的是基于等度规映射Killing矢量场。并且在此基础上有三条性质:
- 1) \(\mathscr{K}=\{\xi\}\) 是矢量空间;
- 2)矢量场对易子作为李括号使得 \(\mathscr{K}\) 成为李代数;
- 3)映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 在相差一个负号的意义下“保李括号”。
但我们发现,即使不要求等度规,矢量场集合 \(\{\xi\}\) 也能满足这三条。所以不妨也可直接将 \(\{\xi\}\) 定义称Killing矢量场,称之为流形 \(M\) 上关于李群 \(G\) 的Killing矢量场。
以后说到“Killing矢量场”,如果没有加定语说明,表示原生意义上的Killing矢量场;如果加了如上定语约束,则是这里的“另类”Killing矢量场。
当然,如果对映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 不加要求, \(\dim \mathscr{K}\) 可能小于 \(\dim \mathscr{G}\) 。
但是,如果映射
\(\sigma:G\times M\to M\)
是有效的
,即
(这个条件等价于 \(g\mapsto \sigma_g\) 是一一映射, 还等价于 \(G\) 在 \(M\) 上的实现是忠实的), 那么 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是同构映射,进而 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同构。
计算李代数结构常数
利用基于等度规映射的Killing矢量场计算等度规群的李代数的结构常数。
这里部分步骤,我可以用Julia来计算, 以后有类似的更复杂的,可以复制这段代码,作点修改就可以计算了。
【范例目标】:3维欧氏空间 \((\mathbb{R}^3,\delta_{ab})\) 中的2维球面 \((S^2,h_{ab})\) 。
首先,这个球面的等度规群是三维空间转动群 \(G=\mathrm{SO}(3)\) 。
其次,计算这个球面的诱导度规 \(h_{ab}\) :
using SymPy
@vars θ φ real=true
# 坐标变换
X=[sin(θ)*cos(φ),sin(θ)*sin(φ),cos(θ)]
Q=[θ,φ]
# 三维欧氏度规矩阵g
g = sympy.eye(3) .* [1,1,1]
# 计算二维球面上的诱导度规矩阵h,及其逆hi
M=[diff(x,q) for x in X, q in Q]
h= simplify.(sympy.Matrix(M'*g*M))
hi = inv(h)
h
计算结果: \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} θ\end{bmatrix}\)
第三步:根据度规计算克氏符,然后列出所有Killing方程:
# 待求的Killing矢量场的分量
ξ = SymFunction("ξ^1,ξ^2")
# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*hi[σ,ρ]*(diff(h[μ,ρ],Q[υ])+
diff(h[υ,ρ],Q[μ])-diff(h[μ,υ],Q[ρ]))
for μ in 1:2,υ in 1:2 ,σ in 1:2]
for ρ in 1:2)
# 列出所有独立Killing方程组
eqs = [(0⩵diff(sum(h[υ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2),Q[μ])+
diff(sum(h[μ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2),Q[υ])-
2*sum(Γ[μ,υ,σ]*sum(h[σ,ρ]*ξ[ρ](θ,φ) for ρ in 1:2)
for σ in 1:2))
for μ in 1:2,υ in 1:2 if μ ≤ υ ]
结果是: \(\begin{bmatrix}0 = 2 \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )} + \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = 2 \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )} \sin{\left (θ \right )} \cos{\left (θ \right )} + 2 \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )}\end{bmatrix}\)
第四步,求解这组方程的通解。
首先通过观察,很容易得到第一组特解:
\[ (\xi_3)^a=-\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_3=(0,-1) \]然后,由方程1和3有 \(\xi^1(\theta,\varphi)=f(\varphi),\quad \xi^2(\theta,\varphi)=g(\theta)h(\varphi)\) ,回代方程3,并分离变量得:
\[ -\frac{f(\varphi)}{h'(\varphi)}=\frac{g(\theta)}{\cot(\theta)}=C \]当 \(C=0\) ,只有全0平凡解。所以必须 \(C\ne0\) ,于是有:
\[ f(\varphi)=-C \ h'(\varphi),\quad g(\theta)=C \cot(\theta) \]回代方程2得:
\[ h''(\varphi)+h(\varphi)=0 \]得到 \(h(\varphi)\) 得两个特解: \(\sin(\varphi),\quad \cos(\varphi)\) 。
最后,回代并整理得到剩余两个特解:
\[ (\xi_2)^a=-\cos\theta \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^a+\cot\theta \sin\theta\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_2=(-\cos\theta,\cot\theta\sin\theta)\\ (\xi_1)^a=\sin\theta \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^a+\cot\theta \cos\theta\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^a, \quad \xi_1=(\sin\theta,\cot\theta\cos\theta) \]这三个特解,可选作Killing矢量场得一组基矢。
第五步,获得李代数得结构常数表达式 (只要写出,上面这三个基矢量的三组对易子即可)
\[ [\xi_1,\xi_2]^a=(\xi_3)^a,\quad [\xi_2,\xi_3]^a=(\xi_1)^a,\quad [\xi_3,\xi_1]^a=(\xi_2)^a \]