常用李群及其李代数

2020-02-21

| 微分几何 | | 流形 , 李群 , 李代数 , 正交群 , 洛伦兹群 , 酉群 |

一般线性群 $$GL(m)$$ ，全体可逆线性映射的集合。

正交群 $$O(m)$$ ，正定度规下，全体保度规线性映射的集合。【正定度规下，保度规 $\Longrightarrow$ 保内积。】

洛伦兹群 $$O(1,3)$$ ，正交归一基底下度规矩阵是 $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ 时，全体保度规线性映射的集合。

酉群 $$U(m)$$ ，就是复数域中的全体保内积线性算符（即酉算符）的集合。

一般线性群

考虑 $$m$$ 维矢量空间 $$V$$ ， $\mathrm{GL}(m)$ 代表 $V\to V$ 的全体可逆线性映射的集合，以映射复合作为群乘法，恒等映射即为恒等元，易见 $\mathrm{GL}(m)$ 构成李群。

因为 $V\to V$ 的线性映射就是 $$V$$ 上的 $$(1,1)$$ 型张量，所以

\mathrm{GL}(m)=\{T\in \mathscr{T}_V(1,1)\}

为 $$V$$ 取定一个基底（及其对偶基底），得到群元张量 $$T$$ 的分量，即可逆矩阵（ $$m^2$$ 个分量），此时单位矩阵为恒等元。于是得到与上面表示相互同构的另一个表示：

\mathrm{GL}(m)=\{A\in M(m,\mathbb{R})| \det A\ne 0\}

其中， $M(m,\mathbb{R})$ 代表 $m\times m$ 实矩阵。

注意， $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 是非紧且非连通李群，取其包含恒等元的一个连通李子群，记作：

\mathrm{GL}^+(m)=\{A\in M(m,\mathbb{R})| \det A \gt 0\}

$\mathrm{GL}(m)$ 的李代数 $\mathscr{G\!L}(m)$ ，与全体实矩阵构成的矢量空间同构，即：

\mathscr{G\!L}(m)=M(m,\mathbb{R})

在这里，指数数映射具有显式的展开形式:

\exp(A)=I+A+\frac{1}{2!}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\dots,\quad \forall A\in \mathscr{G\!L}(m)

正交群

如果考虑带正定度规的矢量空间 $(V,g_{ab})$ ，可以在 $\mathrm{GL}(m)$ 的基础上提出保度规的要求，即要求线性映射 $Z:V\to V$ 保度规(方框中的要求)： $\begin{aligned}&\boxed{g_{ab}(Z^a_{\ \ c}v^c)(Z^b_{\ \ d}u^d)=g_{cd}v^c u^d,\quad \forall v,u\in V} \\ \Longleftrightarrow & g_{ab}Z^a_{\ \ c}Z^b_{\ \ d}=g_{cd}\quad \text{【因为}v,u\text{选择的任意性】} \end{aligned}$

这类线性映射的集合构成的李群，称之为正交群 $$O(m)$$ ：

O(m)=\{Z^a_{\ \ b}\in \mathscr{T}_V(1,1)| g_{ab}Z^a_{\ \ c}Z^b_{\ \ d}=g_{cd}\}

为 $(V,g_{ab})$ 取定一个正交归一基底（及其对偶基底），于是：

\begin{aligned}&g_{ab}Z^a_{\ \ c}Z^b_{\ \ d}=g_{cd}\\ \Longrightarrow & \delta_{\sigma\rho}=\delta_{\mu\upsilon}Z^\mu_{\ \ \sigma}Z^\upsilon_{\ \ \rho}=(Z^T)^{\ \ \mu}_\sigma\delta_{\mu\upsilon}Z^\upsilon_{\ \ \rho}\quad \text{【因为正交归一基底】}\\ \Longleftrightarrow & I=Z^T I Z = Z^T Z \quad \text{【写成矩阵形式】} \end{aligned}

于是， $$O(m)$$ 可写成同构的形式：

O(m)=\{Z\in \mathrm{GL}(m)| Z^T Z = I\}

其中， $$I$$ 是单位矩阵， $$Z$$ 则是正交矩阵。 $$O(m)$$ 是 $\mathrm{GL}(m)$ 的最大紧致李子群。

特别地有： $O(1)=\{1\}\cup\{-1\}$

O(2)=\left\{\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}|\alpha\in \mathbb{R}\right\}\cup\left\{\begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix}|\alpha\in \mathbb{R}\right\}

由于 $\det Z=\pm1$ ， $$O(m)$$ 注定也是非连通的。把包含恒等元的分支记作 $\mathrm{SO}(m)$ ：

\mathrm{SO}(m)=\{Z\in O(m)| \det A=1 \}

称为特殊正交群。最常用的是三维空间转动群 $$SO(3)$$ 。

正交群 $$O(m)$$ 和其李子群 $\mathrm{SO}(m)$ 的有相同的李代数 $\mathscr{O}(m)$ ：

\mathscr{O}(m)=\{A\in M(m,\mathbb{R})| A^T = -A \}\\ \dim O(m)= \dim \mathscr{O}(m)=\frac{1}{2}m(m-1)

洛伦兹群

和正交群 $$O(3)$$ 的差别：不再要求是正定度规，但要求度规 $g_{ab}$ 在正交归一基底下的度规矩阵是 $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ 。

类似 $$O(3)$$ 可写出 $$O(1,3)$$ ：

1）线性映射集合视角

O(1,3)=\{\Lambda^a_{\ \ b}\in \mathscr{T}_V(1,1)| g_{ab}\Lambda^a_{\ \ c}\Lambda^b_{\ \ d}=g_{cd}\}

2）正交归一基底下矩阵集合视角

O(1,3)=\{\Lambda\in \mathrm{GL}(m+1)| \Lambda^T \eta \Lambda = \eta\},\quad \eta\overset{\Delta}{=}\mathrm{diag}(-1,1,1,1)

先看更简单的情况 $$O(1,1)$$ ：

\begin{aligned}O(1,1)&=O^\uarr_+(1,1)\cup O^\uarr_-(1,1)\cup O^\darr_-(1,1)\cup O^\darr_+(1,1)\\ O^\uarr_+(1,1)&= \left\{\begin{bmatrix} \mathrm{ch} \lambda & -\mathrm{sh}\lambda \\ -\mathrm{sh}\lambda & \mathrm{ch} \lambda \end{bmatrix}|\lambda\in \mathbb{R}\right\},\quad \det \Lambda=1,\Lambda^0_{\ \ 0}\ge 1\\ O^\uarr_-(1,1)&=\left\{\begin{bmatrix} \mathrm{ch}\lambda & -\mathrm{sh}\lambda \\ \mathrm{sh}\lambda & -\mathrm{ch}\lambda \end{bmatrix}|\lambda\in \mathbb{R}\right\},\quad \det \Lambda=-1,\Lambda^0_{\ \ 0}\ge 1\\ O^\darr_-(1,1)&=\left\{\begin{bmatrix} -\mathrm{ch}\lambda & \mathrm{sh}\lambda \\ -\mathrm{sh}\lambda & \mathrm{ch}\lambda \end{bmatrix}|\lambda\in \mathbb{R}\right\},\quad \det \Lambda=-1,\Lambda^0_{\ \ 0}\le -1\\ O^\darr_+(1,1)&=\left\{\begin{bmatrix} -\mathrm{ch}\lambda & \mathrm{sh}\lambda \\ \mathrm{sh}\lambda & -\mathrm{ch}\lambda \end{bmatrix}|\lambda\in \mathbb{R}\right\},\quad \det \Lambda=1,\Lambda^0_{\ \ 0}\le -1\end{aligned}

注意: 其中只有 $O^\uarr_+(1,1)$ 是李群 $$O(1,1)$$ 的李子群。

类似地，洛伦兹群 $$L=O(1,3)$$ ，也类似存在4个连通分支，每个分支各存在一个特殊元素：

\begin{aligned}& L\text{的恒等元} &I&=\mathrm{diag}(1,1,1,1)&\in& L^\uarr_+\\ & L\text{的空间反射元} &r_s&=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)&\in& L^\uarr_- = r_sL^\uarr_+ \\ & L\text{的时间反射元} &r_t&=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)&\in& L^\darr_- = r_tL^\uarr_+ \\ & L\text{的时空反演元}& i_{ts}&=r_t r_s=-I&\in& L^\darr_+ = i_{ts}L^\uarr_+\end{aligned}

其中只有包含恒等元的分支 $L^\uarr_+$ 构成李群，是 $$L$$ 的李子群，称为固有洛伦兹群，是6维连通流形，流形结构为 $\mathbb{R}^3\times SO(3)$ 。

同 $$O(3)$$ 类似，洛伦兹群 $$L=O(1,3)$$ 及其李子群 $L^\uarr_+$ 有相同的李代数 $\mathscr{O}(1,3)$ :：

\mathscr{O}(1,3)=\{A\in M(4,\mathbb{R})| A^T \eta A = \eta \}\\ \dim O(1,3) = \dim \mathscr{O}(1,3) = \dim \mathscr{O}(4)=6

酉群

如果把实矢量空间扩展称复矢量空间，那么 $\mathrm{GL}(m)$ 对应 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ ，这个新群是连通李群（不存在多分支）。

我们知道正交群 $$O(m)$$ ，有保度规的要求，进而必然保内积。而酉群 $$U(m)$$ ，就是这种要求保内积的 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 子群。但是复矢量空间的内积只对第二个矢量是线性的，对第一个矢量则为共轭线性。即：

(g,f)=\overline{(f,g)},\quad \forall f,g\in V

很明显，当复矢量空间 $$V$$ 退化成实矢量空间时，内积对所作用的两个矢量都是线性的。

类似实矢量空间，线性映射 $\eta:V\to \mathbb{C}$ 就是复矢量空间 $$V$$ 对应的一个对偶矢量，所有对偶矢量的集合就是 $$V$$ 的对偶矢量空间 $$V^*$$ 。据此 $$V$$ 上的每个线性映射（算符） $A:V\to V$ 可以诱导出 $$V^*$$ 上的一个线性映射（算符） $A^*:V^*\to V^*$ ：

\begin{aligned}A^*:&V^*\to V^* \\ &\eta \mapsto A^*\eta \\ & (A^*\eta)(f)\overset{\Delta}{=}\eta(A f),\quad \forall f\in V \end{aligned}

$$A^*$$ 称之为 $$A$$ 的对偶算符。这是一个线性算符，并且 $$A^*$$ 和 $$A$$ 的对应关系也是线性的。

此外，我们还知道有限维矢量空间 $$V$$ 和其对偶矢量空间 $$V^*$$ 是相互同构的，记作 $\phi:V\to V^*$ ，这是一个反线性映射。进而 $$V$$ 上线性算符 $$A$$ 的对偶算符 $$A^*$$ 又可自然诱导出 $$V$$ 上的一个线性算符 $A^\dagger:V \to V$ ，如图：

$A^\dagger$ 称之为 $$A$$ 的伴随算符。这是一个线性算符，并且 $A^\dagger$ 和 $$A$$ 的对应关系则是反线性的(共轭线性)。

最后，借助对偶矢量作用于矢量得实数得特点，将内积定义为：

(f,g)\overset{\Delta}{=}\eta_f g,\quad \quad \forall f,g\in V

进而有 $\boxed{(f,Ag)=(A^\dagger f,g)}$ ，因为：

\begin{aligned}(f,Ag)&=n_f(Ag)\quad \text{【内积定义】}\\ &=(A^*\eta_f)(g)\quad \text{【对偶算符定义】}\\ &=\eta_h(g)=(h,g)\quad \text{【见上图标注,及内积定义】}\\ &=(A^\dagger f,g)\quad \text{【见上图标注】}\end{aligned}

此外， $\boxed{(f,Ag)=(Bf,g)\quad \Rightarrow \quad B=A^\dagger}$ ，因为：

\begin{aligned}&0=(Bf,g)-(A^\dagger f,g)=(Bf-A^\dagger f,g),\quad \forall f,g\in V\\ \Longrightarrow & 0=(Bf-A^\dagger f,Bf-A^\dagger f)\quad \text{因为}g\text{可任意选择}\\ \Longrightarrow &0=Bf-A^\dagger f\quad \text{相同矢量内积为0的充要条件}\\ \Longrightarrow &B=A^\dagger \quad \text{因为}f\text{可任意选择}\end{aligned}

有上面的准备，下面就容易了。现在可以谈保内积的线性算符 $$U$$ ，称之为酉算符（或 幺正算符）：

(Uf,Ug)=(f,g),\quad \forall f,g\in V

算符 $$U$$ 为酉算符的充要条件是： $U^\dagger U=\delta$ 。其中， $\delta$ 是恒等算符。

为 $$V$$ 选择一个正交归一基底 $\{e_i\}$ ， $$V$$ 上任意算符 $$A$$ 可用矩阵表示:

A_{ij}=(e_i,A e_j)=(A^\dagger e_i,e_j)=\overline{(e_j,A^\dagger e_i)}=\overline{(A^\dagger)_{ji}}

即：

A^\dagger = \overline{A^T}

进而，算符 $$U$$ 为酉算符的充要条件的矩阵形式： $U^{-1}=U^\dagger=\overline{U^T}$ 。对应的矩阵 $$U$$ 称为酉矩阵（或 幺正矩阵）。

如果 $$U$$ 为酉矩阵，那么：

\det U=e^{i\varphi},\quad \varphi\in \mathbb{R},\quad \text{即} \left|\det U\right|=1

所以，酉群 $$U(m)$$ 可定义为：

U(m)\overset{\Delta}{=}\{U\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})| U^\dagger U = I\}

酉群 $$U(m)$$ 是紧致的连通流形。

$$A$$ 是厄米矩阵，若 $A^\dagger = A$ ； $$A$$ 是反厄米矩阵，若 $A^\dagger = -A$ ；

酉群 $$U(m)$$ 的李代数 $\mathscr{U}(m)$ ：

\mathscr{U}(m)=\{A\in\mathscr{G\!L}(m,\mathbb{C})|A^\dagger=-A\}\\ \dim U(m)=\dim \mathscr{U}(m)=m^2

特殊酉群 $\mathrm{SU}(m)$ 可定义为：

\mathrm{SU}(m)\overset{\Delta}{=}\{U\in U(m)| \det U=1 \}

特殊酉群 $\mathrm{SU}(m)$ 的李代数 $\mathscr{S\!U}(m)$ ：

\mathscr{S\!U}(m)=\{A\in\mathscr{U}(m)|\mathrm{tr} A=0\}\\ \dim \mathrm{SU}(m)=\dim \mathscr{S\!U}(m)=m^2-1