李群李代数
评论
李群是分析流形对称性的重要工具。从李群 \(G\) 自身来看，李群 \(G\) 也是一个流形。
李群 \(G\) 作为流形在恒等元 \(e\) 有切空间 \(V_e\) ，在这切空间上定义双线性映射的
李括号，以此作为切空间上的乘法，进而定义了李代数。通过
指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。李代数的
结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。符号说明：由于本节讨论的矢量场，并不涉及具体指标。所以简单用 \(A\) 代表矢量场 \(A^a\) ，用 \(A_g\) 代表点 \(g\) 的矢量。
李群
李群，既是群也是流形。
- 从群的角度看，李群必须满足群乘法封闭性、群乘法结合律、存在恒等元 \(e\) 、存在逆元。
- 李群
\(G\)
的
李子群\(H\) ，不仅仅是 \(G\) 的子群，还必须同时是 \(G\) 的子流形。 李群同态\(\rho:G\to G'\) ，和群同态一致，即 \(\rho(a b)=\rho(a)\rho(b),\quad \forall a,b\in G\) 。李群同构\(\rho:G \overset{\mathrm{diff.}}{\longleftrightarrow} G'\) ，和群同构一致，即一一到上的李群同态。考虑李群连续性，这个映射实际上也是微分同胚。
左平移
李群的特定元素
\(g\in G\)
给出的左平移
\(L_g\)
，
- 左平移是一个微分同胚映射，也是李群 \(G\) 上的一个自同构；
- \(L_{gh}=L_g\circ L_h\) 。
左平移
\(L_g\)
可以把曲线映射到曲线（如图），进而诱导出对矢量场
\(A\)
的推前映射
\(L_{g*}\)
，比如：
\(L_{g*}A_e=A_g\)
。这个推前映射
\(L_{g*}\)
也看成对矢量场左平移。
特别地，称矢量场
\(A\)
是左不变的，若
\(L_{g*}A=A,\quad \forall g\in G\)
。
- 左不变矢量场必然是 \(C^\infty\) 矢量场。
- 定义等价于： \(\boxed{(L_{g*}A)_{gh}=L_{g*}A_h}=A_{gh},\quad \forall g,h \in G\) 。【结合上图示意：方框中等式左边（图中紫色）的意思是对矢量场 \(A\) 进行左平移映射（红虚线）后再 \(gh\) 处取值；方框中等式右边（图中蓝色）则是直接对矢量 \(A_h\) 进行左平移映射；这两者意思是一样的。方框外面的等号则源自左不变的定义】
李群 \(G\) 上全体左不变矢量场的集合 \(\mathscr{L}\) 构成矢量空间，并且与 \(G\) 在恒等元 \(e\) 的切空间 \(V_e\)
同构。
- 因为左不变的要求，本质就是把一个左不变矢量场，“压缩认同"为一个矢量，具体选择哪个矢量随意，所以不妨选恒等元处的矢量。 若把所有左不变矢量场都在恒等元处选一个代表之，于是上面的结论。
李代数
李括号，矢量空间
\(V\)
上的双线性映射
\([,]:V\times V\to V\)
：，满足
- 反称性： \([A,B]=-[B,A],\quad \forall A,B\in V\) ；
- 雅可比恒等式： \([A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0,\quad \forall A,B,C\in V\)
李代数，就是定义了李括号的矢量空间。
李代数同态，自然是要保李括号的。李代数同构，就是一一到上的李代数同态。阿贝尔李代数，李括号始终为0的李代数。- 李代数
\(\mathscr{G}\)
的
李子代数\(\mathscr{H}\) ，就是满足李括号封闭性子空间 \(\mathscr{H}\subset \mathscr{G}\) 。
根据 \(\phi_*[u,v]^a=[\phi_*u,\phi_*v]^a\) 和左不变定义易知：两个左不变矢量场组成的李括号依然是左不变矢量场。 所以有：
李群 \(G\) 上全体左不变矢量场的集合 \(\mathscr{L}\) 是李代数（以矢量场对易子为李括号）。
有了矢量场对易子定义的矢量场李括号, 那么可在恒等元
\(e\in G\)
切空间
\(V_e\)
上定义矢量李括号：
\[
[A_e,B_e]\overset{\Delta}{=}[A,B]_e,\quad \forall A_e,B_e\in V_e
\]
有了恒等元切空间上的矢量李括号，可以证明 \(V_e\) 成为李代数，称为李群 \(G\) 的李代数，记作 \(\mathscr{G}\) 。
李群 \(G\) 和 \(G'\) 的李代数分别是 \(\mathscr{G}\) 和 \(\mathscr{G}'\) ，那么
李群同态\(\rho:G\to G'\) ，在恒等元 \(e\in G\) 所诱导的前推映射\(\rho_*:\mathscr{G}\to \mathscr{G}'\) 是李代数同态。如果 \(H\) 是 \(G\) 的
李子群，那么 \(\mathscr{H}\) 必然是 \(\mathscr{G}\)李子代数。
单参子群
李群
\(G\)
上的一条曲线
\(\gamma\)
，如果
\(\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t),\forall s,t\in\mathbb{R}\)
，那么
\(\gamma\)
是
\(G\)
的单参子群。
- 单参子群 \(\gamma:\mathbb{R}\to G\) 是从 \(\mathbb{R}\) 到 \(G\) 的李群同态映射；
- 李群 \(G\) 的单参子群 \(\gamma\) 必过恒等元 \(e\) ；
- 不变矢量场的每条不可延积分曲线的参数取遍算 \(\mathbb{R}\) ；
- 单参数子群是左不变矢量场经过 \(e\) 的不可延积分曲线，反之亦然。
最后一条结论表明：左不变矢量场 与 单参子群 有一一对应的关系。【因为：首先，李群
\(G\)
恒等元处切空间
\(V_e\)
和 左不变矢量场集合
\(\mathscr{L}\)
是一一对应的；其次，李群
\(G\)
的李代数
\(\mathscr{G}\)
（=
\(V_e\)
）的每个元素
\(A_e\in \mathscr{G}\)
可生成一个单参数子群
\(\gamma(t)\)
。】于是，
\(\mathscr{G}\)
的每个元素称为一个（无限小）生成元。
指数映射
如图，利用“ \(e\) 点的一个矢量 \(A_e\) 决定唯一的单参子群”这一事实，可以定义指数映射。【注意：上图虚线连接的两个 \(e\) 点是重合的】
李群
\(G\)
的李代数
\(\mathscr{G}\)
到
\(G\)
指数映射是：
\[
\boxed{\begin{aligned}\exp: \mathscr{G} &\to G \\ A_e &\mapsto \exp(A_e)\overset{\Delta}{=}\gamma(1) \\ \\ & 其中\gamma\text{是与}A_e\text{对应的单参子群} \end{aligned}}
\]
可以证明：
\[ \boxed{\exp(s A_e)=\gamma(s)},\quad \forall s\in\mathbb{R},A_e\in\mathscr{G} \]这意味着，由
\(A_e\in\mathscr{G}\)
决定的单参子群，可以表示成
\(\exp(t A_e)\)
。
进一步，由
\(A_e\in\mathscr{G}\)
对应的左不变矢量场
\(A\)
产生的单参微分同胚群
\(\phi:\mathbb{R}\times G\to G\)
，则可以表示成：
下面几条性质，说明指数映射是名副其实的：
- \(\exp(s A_e)\exp(t A_e)=\exp((s+t)A_e),\quad \forall s,t \in \mathbb{R}\) ；
- \(\exp(-t A_e)=\exp(t A_e)^{-1},\quad \forall t \in \mathbb{R}\) ；
- 如果李群 \(G\) 是可交换的，则： \((\exp A_e)(\exp B_e)=\exp(A_e+B_e)\) 。
如果 \(\phi:H\to G\) 是一个李群同态，那么基于下图映射路径的复合是可交换的：
此可交换性，按图可写成： \[ \boxed{\phi(\exp A_e)=\exp(\phi_*A_e)},\quad \forall A_e \in \mathscr{H} \]
正则坐标系
由群乘映射和求逆映射的光滑性出发，加上微分方程解对其初值的光滑依赖性，可知
\(\exp:\mathscr{G}\to G\)
是
\(C^\infty\)
映射。 由反函数定理可知，
\(\mathscr{G}\)
中存在包含恒等元
\(e\)
的开子集
\(\mathscr{U}\)
，并且
\(G\)
中也存在包含
\(e\)
的开子集
\(U\)
，使得
\(\exp:\mathscr{U}\to U\)
为微分同胚。
利用这个性质，并考虑
\(\mathscr{G}(=V_e)\)
是一个矢量空间，完全可在其上可给
\(G\)
定义局域坐标系，其坐标成为李群
\(G\)
的正则坐标。
李代数的结构（常数）张量
注意，这一小段恢复使用抽象指标。
结构张量
考虑一个李代数
\(\mathscr{V}\)
，对应的李括号
\([,]:\mathscr{V}\times\mathscr{V}\to \mathscr{V}\)
是双线性映射。这意味着也可把李括号看成一个
\((1,2)\)
型张量，记作
\(C^c_{\ \ ab}\)
。即：
\[
\boxed{[v,u]^a=C^c_{\ \ ab}v^au^b},\quad \forall v,u\in \mathscr{V}
\]
我们将这个张量
\(C^c_{\ \ ab}\)
，称作李代数的结构张量。
结构张量基本性质
李代数结构张量 \(C^c_{\ \ ab}\) 的基本性质:
- 下标反称： \(C^c_{\ \ ab}=-C^c_{\ \ ab}\)
- \(C^c_{\ \ a[b}C^a_{\ \ de]}=0\) 【利用李括号的雅可比恒等式易证】
结构常数
特别地，为
\(\mathscr{V}\)
选择一个基底
\(\{(e_\mu)^a\}\)
，于是有：
\[
[e_\mu,e_\upsilon]^c=C^c_{\ \ ab}(e_\mu)^a(e_\upsilon)^b=C^\sigma_{\ \ \mu\upsilon}(e_\sigma)^c
\]
其中，
\(C^\sigma_{\ \ \mu\upsilon}\)
称作李代数的结构常数，也是结构张量的分量。
李氏第三基本定理
给定一组满足以下两条件的常数 \(C^\sigma_{\ \ \mu\upsilon}\) ：1） \(C^\sigma_{\ \ \mu\upsilon}=-C^\sigma_{\ \ \upsilon\mu}\) ；2） \(C^\sigma_{\ \ \mu[\upsilon}C^\mu_{\ \ \rho\tau]}=0\) ，必存在李群，其李代数以 \(C^\sigma_{\ \ \mu\upsilon}\) 为结构常数。