流形上的微积分

2020-01-23

| 微分几何 | | 流形 , 微积分 , 微分形式 , 外微分 , Stokes定理 , Gauss定理 , 体元 |

流形上微积分的作用对象是微分形式。

普通微分对应微分形式的外微分，普通积分则对应微分形式在流形上的积分。

微积分基本定理对应流形上的Stokes定理。

流形上的Gauss定理则成为Stokes定理特例。

流形上的微分、外微分算符

流形 $$M$$ 上的外微分算符 $$d$$ 是一个映射：

\boxed{\begin{aligned}d:&\Lambda_M(l)&\to& & &\Lambda_M(l+1)\\ &\omega_{a_1\dots a_l}&\mapsto& & & (d\omega)_{b a_1\dots a_l} \overset{\Delta}{=}(l+1)\nabla_{[b}\omega_{a_1 \dots a_l]}\end{aligned}}

特别地， $(df)_a=\nabla_b f$ ，意味着标量场的外微分就是导数算符对标量场的作用。

1. 定义中的导数算符可任意选择

此外，在坐标基矢下，根据定义全反称性和克氏符的下标对称性(因为括号内加异种括号为０)，上面的定义式可改写成：

(d\omega)_{b a_1\dots a_l}=(l+1)\partial_{[b}\omega_{a_1 \dots a_l]}

同样道理，前面的外微分的定义和导数算符选择无关，都有相同的结果。

2.坐标基矢下的外微分作用后的展开式

在坐标基矢下，外微分算符对微分形式作用后的展开式：

\boxed{(d\omega)_{b a_1\dots a_l}=\sum_C{(d\omega_{\mu_1\dots \mu_l})_b\wedge(dx^{\mu_1})_{a_1}\wedge\dots\wedge(dx^{\mu_l})_{a_l}}}

这里根据定义的全反称性能产生 $$(l+1)$$ 个重复项进而可被定义吸收掉，最后就必然得到上式。

3. 连续两次外微分作用得０

连续求两次外微分的结果得０，即 $\boxed{d\circ d=0}$ 。因为 $\begin{aligned}[d(d\omega)]_{c b a_1\dots a_l}=&(l+2)(l+1)\partial_{[c}\partial_{[b}\omega_{a_1 \dots a_l]]}\quad \text{根据定义嵌套}\\ =&(l+2)(l+1)\partial_{[c}\partial_b\omega_{a_1 \dots a_l]}\quad \text{扩号内同种括号可删除}\\ =&(l+2)(l+1)\partial_{[(c}\partial_{b)}\omega_{a_1 \dots a_l]}\quad \text{普通导数可交换}\\=&0\quad \text{异种括号得０}\end{aligned}$

4. 闭的、恰当的微分形式

微分形式场 $\boldsymbol{\omega}\in \Lambda_M(l)$ 被称作闭的，若 $d \boldsymbol{\omega}=0$ 。

微分形式场 $\boldsymbol{\omega}\in \Lambda_M(l)$ 被称恰当的，若 $\boldsymbol{\omega}=d \boldsymbol{\mu},\quad \exists \boldsymbol{\mu}\in \Lambda_M(l-1)$ 。

结论１：若 $\boldsymbol{\omega}$ 是恰当的，那必然也是闭的。因为连续两次外微分得０。

结论2：若 $\boldsymbol{\omega}$ 是闭的，那么至少也是局域恰当的。

5. `Cartan公式`

由于对微分形式计算其李导数比较麻烦，不妨先引入一个缩并算子：

i_X\omega_{a_1\dots a_r}\overset{\Delta}{=}X^{a_1}\omega_{a_1\dots a_r}

于是，李导数算子 $\mathscr{L}_X$ 、外微分算子 $$d$$ 、缩并算子 $$i_X$$ 之间有一个Cartan公式的关系：

\boxed{\mathscr{L}_X=d \circ i_X+i_X \circ d}

也可以写成抽象指标形式：

\mathscr{L}_X \omega_{a_1\dots a_r}=d_{a_1}(X^c\omega_{c a_2\dots a_r})+X^c(d\omega)_{c a_1\dots a_r}

流形上的积分

1. 流形上的局域积分

设 $(O,\psi)$ 是 $$n$$ 维定向流形 $$M$$ 上的右手坐标系， $\boldsymbol{\omega}$ 是开子集 $G\subset O$ 上的连续 $$n$$ 形式场，那么 $\boldsymbol{\omega}$ 在上 $$G$$ 的积分定义成： $\boxed{\int_G{\boldsymbol{\omega}} \overset{\Delta}{=} \int_{\psi[G]}{\omega_{1\dots n}dx^1\dots dx^n}}$ 这个定义和右手坐标系的选择是无关的。因为，可另选新的右手坐标系 $(O',\psi'),\quad G\subset O\cap O'$ ，那么 $\begin{aligned}\int_{\psi'[G]}{\omega'_{1\dots n}dx'^1\dots dx'^n}=& \int_{\psi'[G]}{\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x'^1}\dots\frac{\partial x^{\mu_n}}{\partial x'^n}\omega_{\mu_1\dots\mu_n}dx'^1\dots dx'^n}\quad \text{坐标变换}\\ =& \int_{\psi'[G]}{\omega_{1\dots n}\det\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\upsilon}\right)dx'^1\dots dx'^n}\quad \text{写成雅可比行列式}\\ =& \int_{\psi[G]}{\omega_{1\dots n}dx^1\dots dx^n}\quad \text{变量替换}\end{aligned}$

2. 流形上的大范围积分

考虑流形 $$M$$ 上的有限坐标图册 $\{(O_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ ，根据“单位分解定理”，必然存在这组开覆盖所对应的一组单位分解 $\{\pi_\alpha\}$ ，即满足： $\sum_\alpha{\pi_\alpha(p)}=1,\quad 0\le \pi_\alpha(p)\le 1,\quad \mathrm{supp}(\pi_\alpha)\subset O_\alpha,\quad \forall p\in M$ 然后将 $\{\pi_\alpha\}$ 定义域全部限制在区域 $D\subset M$ ，不在此区域的全部取０，那么可对大范围进行积分： $\boxed{\int_D{\boldsymbol{\omega}}=(\sum_\alpha{\pi_\alpha})\int_D{\boldsymbol{\omega}}=\sum_\alpha{\int_{D\cap O_\alpha}{\pi_\alpha\boldsymbol{\omega}}}\overset{\Delta}{=}\sum_\alpha{\int_{D\cap O_\alpha}{\boldsymbol{\omega}}_\alpha}}$

3. 子流形上的积分

考虑 $$n$$ 维流形 $$M$$ 的 $l(\lt n)$ 维嵌入子流形 $\phi[S]$ ， $\phi:S\to M$ 是对应的嵌入。从流形 $$M$$ 角度看的 $$l$$ 形式场 $\boldsymbol{\mu}=\mu_{a_1\dots a_l}\in \Lambda_M(l)$ ，但从子流形 $\phi[S]$ 角度只能看见 $\boldsymbol{\mu}$ 在 $\Lambda_{\phi[S]}(l)$ 上的“投影” $\tilde{\boldsymbol{\mu}}=\tilde{\mu}_{a_1\dots a_l}\in \Lambda_{\phi[S]}(l)$ ，称为 $\boldsymbol{\mu}$ 在 $\phi[S]$ 上的限制，若

\left.\tilde{\mu}_{a_1\dots a_l}\right|_q(w_1)^{a_1}\dots(w_l)^{a_l}=\left.\mu_{a_1\dots a_l}\right|_q(w_1)^{a_1}\dots(w_l)^{a_l}\\ \forall q\in\phi[S],(w_1)^{a_1},\dots,(w_l)^{a_l}\in W_q

所以子流形上的积分可理解为： $\boxed{\int_{\phi[S]}{\boldsymbol{\mu}}\overset{\Delta}{=}\int_{\phi[S]}{\tilde{\boldsymbol{\mu}}}}$

Stokes定理　流形上微积分基本定理

1. 局域上的Stokes定理

\int_{A}{d\boldsymbol{\omega}}=\int_{\partial A}{\boldsymbol{\omega}}, \quad \boldsymbol{\omega}\in \Lambda_M(n-1)\quad \exists \alpha \ A\subset O_\alpha

下面是非严格的证明过程示意（带帽^的项代表不存在的项）: $\begin{aligned}\boldsymbol{\omega}=& \sum_C{\omega_{\mu_1\dots \mu_{n-1}}(dx^{\mu_1})_{a_1}\wedge\dots\wedge(dx^{\mu_{n-1}})_{a_{n-1}}}\\ =& \sum_{i=1}^n{\omega_i(dx^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge(d \hat{x}^i)_{a_i}\wedge\dots\wedge(dx^n)_{a_n}} \\ d\boldsymbol{\omega}_\alpha=& \sum_{i=1}^n{(d\omega_i)_{a_i}\wedge(dx^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge(d \hat{x}^i)_{a_i}\wedge\dots\wedge(dx^n)_{a_n}}\\ =& \sum_{i=1}^n{\left[\sum_s{\frac{\partial \omega_i}{\partial x^s}(dx^s)_{a_i}}\right]\wedge(dx^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge(d \hat{x}^i)_{a_i}\wedge\dots\wedge(dx^n)_{a_n}}\\=& \sum_{i=1}^n{\frac{\partial \omega_i}{\partial x^i}(dx^i)_{a_i}\wedge(dx^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge(d \hat{x}^i)_{a_i}\wedge\dots\wedge(dx^n)_{a_n}} \\ \int_A{d\boldsymbol{\omega}}_\alpha=& \int_{\varphi[A]}{\sum_{i=1}^n{\frac{\partial \omega_i}{\partial x^i}dx^i dx^1 \dots d \hat{x}^i \dots dx^n} }\\ =& \sum_{i=1}^n{\int_{\varphi[A]\overset{\Delta}{=}I_n}{\frac{\partial \omega_i}{\partial x^i}dx^i dx^1 \dots d \hat{x}^i \dots dx^n} } \\ =& \sum_{i=1}^n{\int_{I_{n-1}}{\left[\int_{I_1}{\frac{\partial \omega_i}{\partial x^i}dx^i}\right] dx^1 \dots d \hat{x}^i \dots dx^n} }\\ =& \sum_{i=1}^n{\int_{\partial A\overset{\Delta}{=}I_{n-1}}{\omega_i dx^1 \dots d \hat{x}^i \dots dx^n} }\\ =& \int_{\partial A}{\sum_{i=1}^n{\omega_i dx^1 \dots d \hat{x}^i \dots dx^n} }\\ =& \int_{\partial A}{\boldsymbol{\omega}}\end{aligned}$

2. 大范围上的Stokes定理

\boxed{\int_{D}{d\boldsymbol{\omega}}=\int_{\partial D}{\boldsymbol{\omega}}, \quad \boldsymbol{\omega}\in \Lambda_M(n-1)\quad D\subset M}

因为(利用了单位分解) $\int_D{d\boldsymbol{\omega}}=\sum_\alpha{\int_{D\cap O_\alpha}{d\boldsymbol{\omega}}_\alpha}=\sum_\alpha{\int_{\partial D\cap O_\alpha}{\boldsymbol{\omega}}_\alpha}=\int_{\partial D}{\boldsymbol{\omega}}$

Gauss定理

1. 函数在流形上的积分

考虑流形 $(M,g_{ab})$ ，有对应度规适配体元 $\boldsymbol{\varepsilon}$ ，还有标量场(流形上的函数) $f\in \mathscr{F}_M$ ,那么 $$f$$ 在 $$M$$ 上的积分定义为 $$n$$ 形式场 $f\boldsymbol{\varepsilon}$ 在 $$M$$ 上的积分，即

\boxed{\int_M{f}\overset{\Delta}{=}\int_M{^*f}=\int_M{f\boldsymbol{\varepsilon}}}

其中用到了霍奇星算子 $$^*$$ 。

2. Gauss定理雏形

考虑定向流形 $(M,g_{ab})$ ， $\boldsymbol{\varepsilon}$ 和 $\nabla_a$ 分别时适配体元和适配导数算符， $v^a\in \mathscr{F}_M(1,0)$ ，取 $$(n-1)$$ 形式场 $\boldsymbol{\omega}=v^b \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}\in \Lambda_M(n-1)$ 那么求外微分后时 $$n$$ 形式场( $$h$$ 待定) $d\boldsymbol{\omega}=n\nabla_{[c}v^b\varepsilon_{|b| a_1 \dots a_{n-1}]}\overset{\Delta}{=}h \varepsilon_{c a_1\dots a_{n-1}} \in \Lambda_M(n)$ 进而可以求出 $$h$$ (两边与 $\varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}}$ 缩并)

h \varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}}\varepsilon_{c a_1\dots a_{n-1}}= n \varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}} \nabla_{[c}v^b\varepsilon_{|b| a_1 \dots a_{n-1}]} \\ \quad \\ \Longrightarrow \begin{aligned}& (-1)^s n! h &=& n\varepsilon^{[c a_1\dots a_{n-1}]} \nabla_{c}v^b\varepsilon_{b a_1 \dots a_{n-1}}\\ & &=& n\varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}} \varepsilon_{b a_1 \dots a_{n-1}}(\nabla_{c}v^b) \\ & &=& n(-1)^s(n-1)!1!\delta^c_{\ b}(\nabla_{c}v^b) \\ & &=& (-1)^s n! (\nabla_{b}v^b) \end{aligned}

这意味着 $h = \nabla_{b}v^b \Longrightarrow d\boldsymbol{\omega} =(\nabla_{b}v^b) \varepsilon_{c a_1\dots a_{n-1}}$ 带入Stokes定理得到Gauss定理雏形 $\boxed{\int_{D}{(\nabla_{b}v^b) \boldsymbol{\varepsilon}}=\int_{\partial D}{v^b \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}}}$

3. 诱导适配体元

$\partial D$ 超曲面(不考虑类光超曲面的情况)，可谈归一化法矢 $n^a,\quad n^a n_b=\pm 1$ ，并有 $\partial D$ 上的诱导度规 $h_{ab}=g_{ab}\mp n_a n_b$ 。那么 $h_{ab}$ 的适配体元 $\hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}$ 必须满足：（1）与 $\partial D$ 的诱导定向相容；（2）与度规 $h_{ab}$ 相适配，即 $\boxed{\hat{\varepsilon}^{a_1\dots a_{n-1}}\hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}=(-1)^{\hat{s}}(n-1)!}$

考虑正交归一基底 $\{(e_\mu)^a\},\quad (e_1)^a=n^a$ ，那么 $\varepsilon_{a_1\dots a_n}=(e^1\wedge\dots \wedge e^n)_{a_1\dots a_n}=\pm n_{a_1}\wedge(e^2\wedge\dots\wedge e^n)_{a_2\dots a_n}$ 由诱导定向的相容性要求： $\boxed{\hat{\varepsilon}_{a_2\dots a_n}=K (e^2\wedge\dots\wedge e^n)_{a_2\dots a_n},\quad K>0}$ 于是 $\begin{aligned}& K \varepsilon_{a_1\dots a_{n-1}}=\pm n_{b}\wedge \hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}\\ \Rightarrow \quad & K n^b\varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}=\pm n^b (n_b\wedge\hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}})= \hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}\\ \Rightarrow \quad & \hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}=K n^b\varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}} \quad K>0\end{aligned}$

由诱导度规适配性要求：

$\begin{aligned}(-1)^{\hat{s}}(n-1)!&=K^2 n_b\varepsilon^{b a_1\dots a_{n-1}} n^c\varepsilon_{c a_1\dots a_{n-1}}\\ &= K^2 (n_b n^c)((-1)^s(n-1)!1!\delta^b_{\ c})\\ &= (-1)^s (n-1)! n_b n^b K^2\\ \Rightarrow \quad &K=1 \end{aligned}$ 即，诱导适配体元是法矢与适配体元的缩并： $\boxed{\hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}=n^b\varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}}$

4. Gauss定理

前面Gauss定理雏形右边被积分的部分 $v^b \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}$ ，而积分区域是在 $\partial D$ 超曲面上，所以一个很自然的想法就是写成标量场（流形函数）与 $\partial D$ 上诱导适配体元的乘积，即 $\begin{aligned}& \boxed{v^b \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}=K \hat{\varepsilon}_{a_1\dots a_{n-1}}} \\ \Rightarrow \quad &v^b \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}=K n^b\varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}\\ \Rightarrow \quad &v^b \varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}} \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}=K n^b \varepsilon^{c a_1\dots a_{n-1}} \varepsilon_{b a_1\dots a_{n-1}}\\ \Rightarrow \quad &v^b=K n^b\\ \Rightarrow \quad &K n^b n_b = v^b n_b\\ \Rightarrow \quad &K = \pm v^b n_b \quad \text{符号}n^a n_a\text{和一致} \end{aligned}$ 最后得到标准的Gauss定理： $\boxed{\int_D{(\nabla_a v^a)\boldsymbol{\varepsilon}}=\int_{\partial D}{v^a n_a \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}}$

三维欧氏空间矢量算子的外微分表示

梯度、旋度、散度可用外微分表示： $\begin{aligned}\mathrm{grad}\ f &= df\\ \mathrm{curl} \ \vec{A}&= ^*d \boldsymbol{A}\\ \mathrm{div} \ \vec{A}&= ^*d (^*\boldsymbol{A})\end{aligned}$ 欧氏空间这个种平凡流形，必然是恰当的，所以有:

无旋矢量场必可表示为梯度 $\mathrm{curl}\ \vec{E}=0 \Longrightarrow \exists \phi, \ \ \vec{E}=\mathrm{grad}\ \phi$
无散矢量场必可表示为旋度 $\mathrm{div}\ \vec{B}=0 \Longrightarrow \exists \vec{A}, \ \ \vec{B}=\mathrm{curl} \ \vec{A}$