Killing矢量场

2020-01-20

| 微分几何 | | 流形 , killing , 等度规映射 , julia , 测地线 , 矢量场 |

Killing矢量场描述了(伪)黎曼流形的对称性，每一种对称性都与一个Killing矢量场相关联。

等度规映射

给定度规的流形 $(M,g_{ab})$ ，不但可以谈微分同胚映射，还可进一步谈等度规映射: $\phi:M\to M, \quad \phi^*g_{ab}=g_{ab}$

Killing矢量场及数学形式

很自然也可谈单参等度规群。能给出了单参等度规(局域)群的矢量场 $\xi^a$ 被称作Killing矢量场，等价于 $\mathscr{L}_{\xi} g_{ab}=0$ 。因为： $\mathscr{L}_{\xi} g_{ab}=\lim_{t\to 0}{\frac{1}{t}(\phi^*_t g_{ab}-g_{ab})}=0$

Killing方程

进而等价于Killing方程 $\nabla_{(a} \xi_{b)}=0$ 。因为： $\begin{aligned}0&=\mathscr{L}_{\xi} g_{ab}\\ &=\xi^c \nabla_c g_{ab} + g_{ca} \nabla_b \xi^c+ g_{cb} \nabla_a \xi^c\\ &=\nabla_b \xi_a + \nabla_a \xi_b\quad\text{度规适配导数算符，并降指标}\\ &=2 \nabla_{(a} \xi_{b)}\end{aligned}$

Killing矢量场适配坐标系

Killing矢量场 $\xi^a$ 在其适配坐标系 $\{x^\mu\},\quad \xi^a=(\partial/\partial x^1)^a$ 中满足 $\partial g_{\mu\upsilon}/\partial x^1=0$ ，反之依然。因为： $0=(\mathscr{L}_\xi g)_{\mu\upsilon}=\frac{\partial g_{\mu\upsilon}}{\partial x^1}$

Killing矢量场与测地线

测地线切矢 $$T^a$$ 与Killing矢量场 $\xi^a$ 沿测地线“内积”不变： $T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=0$ 。因为: $\begin{aligned}T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=& \xi_bT^a\nabla_aT^b+T^aT^b\nabla_a\xi_b\\ =& T^aT^b\nabla_a\xi_b\quad \text{用到测地线定义}\\ =& T^{(a}T^{b)}\nabla_{[a}\xi_{b]}=0\quad \text{用到Killing方程，并异种括号缩并为０}\end{aligned}$

Killing矢量场基本性质

线性性：Killing矢量场的集合也构成矢量空间 $\mathscr{K}_M$ ；
对易子封闭性： $[u,v]^a\in\mathscr{K}_M,\quad \forall u^a,v^a \in \mathscr{K}_M$ ；
自由度： $\dim \mathscr{K}_M \le n(n+1)/2, \quad n=\dim M$ 。

称 $(M,g_{ab})$ 是最高对称性空间，如果 $\dim \mathscr{K}_M = n(n+1)/2$ 。

寻找全体Killing矢量场

一般方法是求解Killing方程通解，但对简单的情况可以采用猜解再验证的方法。

猜解验证法

以二维欧氏空间 $(\mathbb{R}^2,\delta_{ab})$ 为例，相信此空间具有最高对称性，应该有 $$n(n+1)/2=3$$ 个独立Killing矢量场。

很自然想到：两个方向平移和一个转动。

如果选择笛卡尔坐标系 $\{x,y\}$ ，线元 $$ds^2=dx^2+dy^2$$ ，欧氏度规 $\delta_{ab}$ 在此系中分量都是常数，所以 $(\partial/\partial x)^a$ 和 $(\partial/\partial y)^a$ 都为Killing矢量场，并且相互独立。

再选择极坐标系 $\{r,\varphi\}$ ，线元 $ds^2=dr^2+r^2d\varphi^2$ ，欧氏度规 $\delta_{ab}$ 在此系中分量都与 $\varphi$ 无关，所以只有 $(\partial/\partial \varphi)^a$ 是Killing矢量。用笛卡尔坐标基底展开： $\begin{aligned}\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)^a=&\frac{\partial x}{\partial \varphi} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +\frac{\partial y}{\partial \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\\ =& -r\sin\varphi \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +r\cos\varphi\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\\ =& -y \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +x\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\end{aligned}$

Killing方程通解法

以二维闵氏空间 $(\mathbb{R}^2,\eta_{ab})$ 为例，选择洛伦兹坐标系 $\{t,x\}$ ，线元 $$ds^2=-dt^2+dx^2$$ 。

用julia列出所有独立的Killing方程：

using SymPy

# 选择洛伦兹坐标系
@vars t x real=true
X = [t,x]

# 待求的Killing矢量场的分量
ξ = SymFunction("ξ^1,ξ^2")

# 闵氏度规及逆度规
g = sympy.eye(2) .* [-1,1] 
gi = inv(g)

# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*gi[σ,ρ]*(diff(g[μ,ρ],X[υ])+
            diff(g[υ,ρ],X[μ])-diff(g[μ,υ],X[ρ])) 
        for μ in 1:2,υ in 1:2 ,σ in 1:2] 
    for ρ in 1:2)

# 列出所有独立Killing方程组
eqs = [(0⩵diff(sum(g[υ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2),X[μ])+
        diff(sum(g[μ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2),X[υ])-
        2*sum(Γ[μ,υ,σ]*sum(g[σ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2) 
            for σ in 1:2)) 
    for μ in 1:2,υ in 1:2  if μ ≤ υ ]

执行的结果： $\left[ \begin{array}{r}0 = - 2 \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{ξ^{1}}{\left (t,x \right )}\\0 = - \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{ξ^{1}}{\left (t,x \right )} + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{ξ^{2}}{\left (t,x \right )}\\0 = 2 \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{ξ^{2}}{\left (t,x \right )}\end{array} \right]$

由方程１和３有 $\xi^1(t,x)=h(x),\xi^2(t,x)=g(t)$ ，代入方程２得： $\frac{\partial h(x)}{\partial x}=\frac{\partial g(t)}{\partial t}=C$ 当 $$C=0$$ 时，有 $\xi^1(t,x)=h(x)=c_1, \xi^2(t,x)=g(t)=c_2$ , 即有两个独立特解： $\xi^a=(\frac{\partial}{\partial t})^a,\quad \xi=(1,0)\\ \xi^a=(\frac{\partial}{\partial x})^a,\quad \xi=(0,1)$ 当 $C\neq0$ 时，有 $\xi^1(t,x)=h(x)=C x, \xi^2(t,x)=g(t)=C t$ ，由此到一个独立特解： $\xi^a=x(\frac{\partial}{\partial t})^a+t(\frac{\partial}{\partial x})^a,\quad \xi=(x,t)$