闵氏时空对称性的三种观点

2020-04-15

| 理论物理 | | 流形 , 旋量 , 对称性 | 评论

本篇依次从Killing矢量场、张量（矩阵）、旋量三个角度考察闵氏时空的对称性。

最后，从旋量概念引入自旋概念。

本篇涉及的草稿：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0080.ipynb

闵氏时空对称性

闵氏时空，作为一种带度规的时空流形 \((M,g_{ab})\)

其对称性表现为保度规，描述此种对称性的李群，就是等度规群。特别地，闵氏时空下的等度规群，就是庞加莱群。

本篇，从三个角度考察庞加莱群：

1）Killing矢量场观点【主动观点】；

2）张量观点【被动观点】

3）旋量观点

Killing矢量场观点

作为庞加莱群的子群，单参等度规（局域）群，所对应的矢量场是一个Killing矢量场。很自然，可通过求解Killing方程来确定庞加莱群的李代数。

using SymPy
using LinearAlgebra

# 选择洛伦兹坐标系
@vars t x y z real=true
X = [t,x,y,z]

# 闵氏度规及逆度规
g = sympy.diag(-1,1,1,1)
gi = inv(g)


# 待求的Killing矢量场的分量
ξ = SymFunction("ξ^1,ξ^2,ξ^3,ξ^4")


# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*gi[σ,ρ]*(diff(g[μ,ρ],X[υ])+
            diff(g[υ,ρ],X[μ])-diff(g[μ,υ],X[ρ])) 
        for μ in 1:4,υ in 1:4 ,σ in 1:4] 
    for ρ in 1:4)

# 列出所有独立Killing方程组
eqs = [(0⩵diff(sum(g[υ,ρ]*ξ[ρ](t,x,y,z) for ρ in 1:4),X[μ])+
        diff(sum(g[μ,ρ]*ξ[ρ](t,x,y,z) for ρ in 1:3),X[υ])-
        2*sum(Γ[μ,υ,σ]*sum(g[σ,ρ]*ξ[ρ](t,x,y,z) for ρ in 1:4) 
            for σ in 1:4)) 
    for μ in 1:4,υ in 1:4  if μ ≤ υ ]

通过分离变量法，逐个获得10个特解【参见我的草稿】，分成三组：

（一）4个平移：

（二）3个空间转动：

（三）3个伪转动（boost）：

通过细致的计算【参见我的草稿】，可算出对应李代数的结构常数：

进一步引入记号 \(\textcolor{red}{l_{\mu\upsilon}}=l_{[\mu\upsilon]}\quad \mu,\upsilon=0,1,2,3\) 【注意每一个分量都是一个生成元矢量】：

于是前面堆等式可浓缩为【参见我的草稿】

对应的分量

张量（矩阵）观点

在《常用李群及其李代数》中提及的洛伦兹群，就是从张量角度看的。 本小节不再复述，这里仅仅把 Killing矢量场观点和张量观点联系起来。

从根上看，两个观点都是基于保度规的，每个Killing矢量场对应一个单参等度规群，而其每个群元作用于流形上，是基于操作的“主动变换”。 换个角度，这种“主动”必然对应“被动”，那就是坐标变换。

以这个Killing矢量场 \((\xi_{r_1})^a\) 为例

假设 \((\xi_{r_1})^a\) 对应的单参等度规群的参数是 \(\varphi\) ,那么

比较上面两种形式，得到 \((\xi_{r_1})^a\) 积分曲线 \(C(\varphi)\) 的参数方程：

不难求解出：

很明显，这就我们熟知的，绕 \(x\) 轴旋转的坐标变换形式。不难写出坐标变换所对应的矩阵（由主动到被动反向： \(\varphi\to -\varphi\) ）：

进而可直接求出对应的生成元

类似地，我们可以求出固有洛伦兹群 \(L^\uparrow_+\) 的6个典型单参子群的矩阵：

对应的生成元 \(r_1,r_2,r_3,b_1,b_2,b_3\) ：

实际上，通过比较这些生成元和对应的特解Killing矢量场，我们还能很直观地发现两种观点的同构性：

此外，需要注意的是：平移没有同维的生成元矩阵形式，但有高一维的生成元矩阵。平移生成元 \(t_0,t_1,t_2,t_3\) :

进而，不得不将转动和伪转动生成元矩阵都扩张成5维，扩展部分补0。【如果无需和平移混合运算的话，则无需扩展】

可以验证【参见我的草稿】，也能很直观看出两种观点的同构性：

和前面类似，进一步引入记号 \(\textcolor{red}{l_{\mu\upsilon}}=l_{[\mu\upsilon]}\quad \mu,\upsilon=0,1,2,3\) ，每个分量的分配和前面完全一样。根据这种分配，每一个分量都是一个生成元矩阵，有更简洁的表示【参见我的草稿】:

进而不难验证，上面矩阵形式的结构常数关系可浓缩为【参见我的草稿】：

庞加莱群的简洁表示

前面无论是Killing矢量场观点，还是张量（矩阵）观点，都有完全一样的形式【同构表示】，

首先是洛伦兹群，可以用生成元矩阵表示:

每个生成元 \(l_{\mu\upsilon}=l_{[\mu\upsilon]}\) 都对应一个单参微分同胚群，也可将这些参数组成一个反称张量（矩阵） \(\omega_{\mu\upsilon}=\omega_{[\mu\upsilon]}\) ，进而得到洛伦兹群的一般简洁表示：

其中， \(1/2\) 是由于反称性导致的重复求和； 引入虚数 \(i\) 是有意为之，如果将 \(J^{\mu\upsilon}\) 代替 \(l^{\mu\upsilon}\) 作为生成元，那么 \(J^{\mu\upsilon}\) 就是厄米的。

从 \(J^{\mu\upsilon}\) 中提取矢量（利用了前面关于 \(l_{\mu\upsilon}\) 的构造）

从 \(\omega^{\mu\upsilon}\) 提取矢量：

进而

其中负号源自 \(\omega_{i0}=-\omega^{i0}=-\eta^i\) 。

于是，洛伦兹群还可以表示为：

其次是平移群，其生成元矩阵：

每个生成元 \(t_{\mu}\) 都对应一个单参微分同胚群，此参数数记作 \(a_{\mu}\) ，进而得到平移群的表示【这里的 \(t\) 是"平移"的意思，以后用 \(P\) 表示】：

庞加莱群是平移群与洛伦兹群的直积。

最后，李代数的结构常数可改写成：

旋量观点-三维空间转动群

参考：流形上的旋量和旋量场（初步） ，本段的任务仅仅是将旋量观点和前面的观点建立联系。

先考察空间转动群 \(SO(3)\) 表示

只需取（ \(\boldsymbol{\sigma}\) 就是泡利矩阵）

就能得到 \(SU(2)\) 上的表示（自旋矩阵）

其作为生成元的泡利矩阵 \(\boldsymbol{\sigma}\) 的结构常数恰好与 \(\boldsymbol{J}\) 一致：

这意味着， \(SO(3)\) 和 \(SU(2)\) 的李代数完全同构

旋量观点-固有洛伦兹群

然后考察固有洛伦兹群 \(SO(1,3)\)

在此基础上构造

容易验证： \[ [J^{+i},J^{+j}]=\frac{i}{2}\varepsilon_k^{\ ij}J^{+k}\quad [J^{-i},J^{-j}]=\frac{i}{2}\varepsilon_k^{\ ij}J^{-k}\\ [J^{+i},J^{-j}]=0 \]

我们发现：

1）两组生成元都是厄米的，都属于 \(SU(2)\) 的李代数的元素

2）这两组生成元都满足和前面相同的结构常数，精确到相差一个常实系数；

3）这两组相互独立（对易关系为0）。

这意味着：

自旋与旋量

在《旋量初步》定义了四种基本旋量，它们分别满足的变换规则： \[ \begin{aligned}\psi^A\quad \text{满足}\quad L^B_{\ \ A}=&\exp\left\{(\boldsymbol{\eta}-i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right\}\\ \psi_A\quad \text{满足}\quad L_A^{\ \ B}=&(L^A_{\ \ B})^{-1}=\exp\left\{(-\boldsymbol{\eta}+i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right\}\\ \psi^{A'}\quad \text{满足}\quad \bar{L}_{B'}^{\ \ A'}=&\overline{L^A_{\ \ B}}=\exp\left\{(\boldsymbol{\eta}+i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right\}\\ \psi_{A'}\quad \text{满足}\quad \bar{L}^{B'}_{\ \ A'}=&\left(\overline{L^A_{\ \ B}}\right)^{-1}=\exp\left\{(-\boldsymbol{\eta}-i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right\} \end{aligned} \] 在此基础上， \((k,k';l,l')\) 型旋量张量 \[ \psi^{A_1\dots A_k A'_1\dots A'_{k'}}_{\quad \qquad \qquad B_1\dots B_l B'_1\dots B'_{l'}} \] 满足的变换规则： \[ \exp\left\{\left[(k+k'-l-l')\boldsymbol{\eta}-i\ (k-k'-l+l')\boldsymbol{\theta}\right]\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right\} \] 和固有洛伦兹群比较有： \[ \boldsymbol{J}=(k-k'-l+l')\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\\ \boldsymbol{K}=-i\ (k+k'-l-l')\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} \] 进而： \[ \boldsymbol{J}^{-}=(l'-k')\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}=j_{-}\ \boldsymbol{\sigma}\quad j_{-}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2}(l'-k')\\ \boldsymbol{J}^{+}=(k-l)\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}=j_{+}\ \boldsymbol{\sigma}\quad j_{+}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2}(k-l)\\ \quad \\ \boxed{\boldsymbol{J}=(j_{-}+j_{+})\boldsymbol{\sigma}=j\ \boldsymbol{\sigma}} \quad j\overset{\Delta}{=}j_{-}+j_{+} \] 这说明了：

1）旋量张量都可以用一对半整数 \((j_{-},j_{+})\) 标记；

2）旋量张量的纯旋转用 \(j\) 标记，所以这个旋量张量对应 \(\color{red}{\text{自旋-}j}\) 。

3） \(j_{-},j_{+},j\) 都有可能取负号。一般我们只关注正数的情况，只要明白取负号的意义，逆变换矩阵，表示对应反向而已。

\((j_{-},j_{+})\) 对应的维度是 \((2j_{-}+1)(2j_{+}+1)\) 【我暂时没理解，以后再说】。在量子力学中，所有可能的 \(\text{自旋-}j\) ，满足： \[ |j_{+}-j_{-}|\le j\le j_{+}+j_{-}\quad \textcolor{red}{整数步距} \]

0自旋

0自旋只有一种可能： \((0,0)\) ，1维的，对应 \(\boldsymbol{J}^{\pm}=0\) ，进而 \(\boldsymbol{J},\boldsymbol{K}\) 都是0 \[ \Lambda = I \] 这种不变的效果，就对应所谓的标量。

1/2自旋

1/2自旋只有两种可能组合： \((\frac{1}{2},0)\) 和 \((0,\frac{1}{2})\) ，都是2维的，进而 \[ \textcolor{red}{(\frac{1}{2},0)}\quad \boldsymbol{J}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}\quad \boldsymbol{K}=\frac{i}{2}\boldsymbol{\sigma}\\ \quad \textcolor{red}{(0,\frac{1}{2})}\quad \boldsymbol{J}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}\quad \boldsymbol{K}=-\frac{i}{2}\boldsymbol{\sigma} \]

对应的洛伦兹群表示：

于是：

A）满足 \(\Lambda_R\) 或 \(\textcolor{red}{(0,1/2)}\) 变换规则的旋量，是 \((1,0;0,0)\) 型的逆变旋量 \(\textcolor{red}{\psi_R}=\psi^A\) ；

B）满足 \((\Lambda_R)^{\dagger}\) 或 \(\textcolor{blue}{(-1/2,0)}\) 变换规则的旋量，是 \((0,0;1,0)\) 型的共轭逆变旋量 \(\psi^{A'}\) ；

C）满足 \((\Lambda_R)^{-1}\) 或 \(\textcolor{blue}{(0,-1/2)}\) 变换规则的旋量，是 \((0,1;0,0)\) 型的协变旋量 \(\psi_A\) ；

D）满足 \(\Lambda_L=(\Lambda_R^{\ \ \dagger})^{-1}\) 或 \(\textcolor{red}{(1/2,0)}\) 变换规则的旋量，是 \((0,0;0,1)\) 型的共轭协变旋量 \(\textcolor{red}{\psi_L}=\psi_{A'}\) 。

在物理上，分别称 \((\psi_L)_\alpha,(\psi_R)_\alpha,\alpha=1,2\) ，为左外尔旋量，右外尔旋量。但本笔记系列，更喜欢称之为共轭协变旋量 \(\psi_{A'}\) ，逆变旋量 \(\psi^A\) 。

另外两种旋量，实际上代表-1/2自旋，负数代表反向。

1自旋

1自旋有三种可能： \((1/2,1/2),(1,0),(0,1)\) 。

【第一种情况】： \((1/2,1/2)\) ，对应复4维的，有0自旋和1自旋两种状态。对应的群表示：

所以， \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) 可写成

其中，0自旋对应标量，1自旋对应4维矢量。

【第二种情况】： \((1,0)\) 和 \((0,1)\) ，都对应复3维的，都只有1自旋一种状态。对应的群表示： \[ \exp\left\{(-\boldsymbol{\eta}-i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\boldsymbol{\sigma}\right\}=\Lambda_L\Lambda_L\\ \exp\left\{(\boldsymbol{\eta}-i\ \boldsymbol{\theta})\cdot\boldsymbol{\sigma}\right\}=\Lambda_R\Lambda_R \] 满足 \(\textcolor{red}{(1,0)}\) 变换规则的旋量张量 \(\psi_{A'B'}=\psi_{(A'B')}\) ；满足 \(\textcolor{red}{(0,1)}\) 变换规则的旋量张量 \(\psi^{AB}=\psi^{(AB)}\) 。 其中的对称性源自3维的约束。

波函数和自旋张量

一般而言，物理上的波函数常用 \(n\) 个指标的全对称旋量张量 \(\psi_{AB\dots F}=\psi_{(AB\dots F)}\) ，对应 \(\color{red}{\text{自旋-}\frac{n}{2}}\) 。全对称旋量张量，又被称作自旋张量。

在这种情况下，比如

1） \(\color{blue}{\text{自旋-}0}\) 对应标量 \(\psi\) ，比如： \(\pi\) 介子；

2） \(\color{blue}{\text{自旋-}\frac{1}{2}}\) 对应协变旋量 \(\psi_A\) ，比如：中微子；

3） \(\color{blue}{\text{自旋-}1}\) 对应对称旋量张量 \(\psi_{AB}=\psi_{(AB)}\) ，比如：光子。