辛流形上的哈密顿力学

2020-03-01

| 理论物理 | | 流形 , 哈密顿 , 辛流形 |

有了《辛群及其李代数》和《辛流形》的学习，关于辛流形上的哈密顿力学就水到渠成了。

首先，借助切丛上的拉格朗日量函数，构造一个特别的切丛到余切丛的同构映射。

然后，在构造这个同构映射中，对1-形式的动量作外微分，得到一个自然的辛构造，进而余切丛空间（相空间）成为辛流形。

这个同构映射的构造，实际对应Legendre变换，进而构造出余切丛上的哈密顿函数。

最后，利用《辛流形》的知识，得到一系列哈密顿力学的结论。

相空间(余切丛)

具有约束的力学系的位形空间 $$M$$ 是一光滑流形，拉格朗日量 $L:T\!M\to \mathbb{R}$ 则是切丛 $T\!M$ 上的光滑函数。

很自然，位形空间 $$M$$ 每个点 $$q$$ 的切空间 $$V_q$$ 都有与之同构的对偶空间 $$V^*_q$$ ，又叫余切空间。进而可类似切丛概念，定义一个余切丛 $T^*\!M$ 【也称相空间】：

T^*\!M=\cup_{q\in M}V^*_q,\quad T^*\!M_q=V^*_q,\quad \dim T^*\!M=2n

相空间上的辛构造

在位形空间 $$M$$ 选定一个局域坐标系 $\{q^\mu\}$ ，那么

(q,\dot{q})\in T\!M

而切空间 $$V_q$$ 和余切空间 $$V^*_q$$ 是同构的，注意这个同构映射并非唯一的，但我们可以根据拉格朗日量 $$L$$ 构造一个同构映射：

\begin{aligned}\varphi:&V_q\to V^*_q\\ & \dot{q}^a\mapsto \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)_a\overset{\Delta}{=}p_a\end{aligned}

这个 $p_a\in V^*_q$ 就是 $$q$$ 点的动量，并且是1-形式：

\boxed{p_a=p_\mu\left(dq^\mu\right)_a=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^\mu}\left(dq^\mu\right)_a}

其外微分必然是恰当2-形式：

\boxed{\boldsymbol{\omega}\overset{\Delta}{=}d_a p_b=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b}

很明显， $\boldsymbol{\omega}$ 是可逆的。所以 $\boldsymbol{\omega}$ 将自然的辛构造赋值给了相空间 $T^*\!M$ ，进而相空间 $(T^*\!M,\boldsymbol{\omega})$ 成为辛流形。

哈密顿函数

动量 $p_a=p_\mu\left(dq^\mu\right)_a$ 与速度 $\left(\dot{q}\right)^a=\dot{q}^\mu\left(\dfrac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a$ 的缩并是标量场，可以定义一个新标量场 $$H$$ ，称之为哈密顿函数：

\boxed{H\overset{\Delta}{=}\dot{q}^\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)_\mu-L}

Legendre变换

前面这一套流程下，实际上是把切丛变换到余切丛（相空间）上：

\boxed{\begin{aligned}f:&T\!M\to T^*\!M\\ & \sigma=(q^\mu,\dot{q}^\mu)\mapsto f(\sigma)\overset{\Delta}{=}(q^\mu,p_\mu)\\& \qquad\qquad q^\mu|_{f(\sigma)}\overset{\Delta}{=}q^\mu|_\sigma\\& \qquad\qquad p_\mu|_{f(\sigma)}\overset{\Delta}{=}\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^\mu}\right|_\sigma\end{aligned}}

这就是著名的Legendre变换。进而相当于把拉格朗日量 $L:T\!M\to\mathbb{R}$ 变换到余切丛（相空间）上的哈密顿函数 $H:T^*\!M\to\mathbb{R}$ 。

哈密顿方程

变换后得到的哈密顿函数 $H(q^\mu,p_\mu)$ ，对应的哈密顿矢量场 $$X^a_H$$ 是:

X^a_H=\frac{\partial H}{\partial p_\mu}\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a-\frac{\partial H}{\partial q^\mu}\left(\frac{\partial}{\partial p_\mu}\right)^a

改写成分量形式就得到哈密顿方程：

\boxed{\dot{q}^\mu=\frac{\partial H}{\partial p_\mu},\qquad \dot{p}_\mu=-\frac{\partial H}{\partial q_\mu}}

泊松括号

在笔记《辛流形》中，已经定义了括号，这里就不在复述了。

对任意动力学变量 $f(q^\mu,p_\mu,t)$ ，对时间的作全导数：

\begin{aligned}\frac{df}{dt}&=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q^\mu} \dot{q}^\mu+\frac{\partial f}{\partial p_\mu} \dot{p}_\mu\\ &=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q^\mu}\frac{\partial H}{\partial p_\mu}-\frac{\partial f}{\partial p_\mu}\frac{\partial H}{\partial q^\mu} \\ &=\boxed{\frac{\partial f}{\partial t}+\{H,f\}} \end{aligned}

Liouville定理

由哈密顿矢量场的定义得知:

\mathscr{L}_{X_H}\boldsymbol{\omega}=0

此方程表明，相空间 $T^*\!M$ 的体积元 $\boldsymbol{\omega}$ 沿哈密顿矢量不变。这就是大家熟知的相空间体积不随时间改变的Liouville定理。