流形上的拉格朗日力学

2020-01-24

| 理论物理 | | 流形 , 力学 , 场论 , 拉格朗日 | 评论

一个具有约束的力学系的位形空间是一个微分流形。

拉格朗日力学其实就是个理论框架。

有限自由度系统可直接拉格朗日量描述。

场论（无限自由度系统）则可用拉格朗日密度描述。

拉格朗日量

一个具有约束的力学系的位形空间是一个微分流形 \(M,\quad \dim{M}=n\) 。无论何时，该力学系的状态由位形 \(q\in M\) 和切矢 \(\dot{q}\in V_q\) 唯一确定。所以， \(\{(q,\dot{q})\}\) 构成所谓的状态空间，称之为切丛 \(TM\) \[ TM=\cup_{q\in M}{V_q},\quad TM_q=V_q,\quad \dim{TM}=2n \] 基于最小作用原理的信仰，我们相信必然存在切丛 \(TM\) 上的某种标量场，能够描述这个这个力学系的演化规律，不妨称之为拉格朗日量 \(\mathrm{L}:TM \to \mathbb{R},\quad \mathrm{L}\in \mathscr{F}_{TM}\) ，对应演化路径作用量 \(\mathrm{S}\) 就是: \[ \boxed{\mathrm{S}\overset{\Delta}{=}\int^{t_1}_{t_0}{\mathrm{L}(q(t),\dot{q}(t))dt}}\quad (q,\dot{q})\in TM,\quad q\in M,\quad \dot{q}\in V_q=TM_q \] 其中， \(\left.q(t)\right|_{t_0\to t_1}\) 就是目前未知但客观上确定的演化路径 ，这个作用量就是关于演化路径泛函。

最小作用原理：作用量 \(\mathrm{S}\) 最小的演化路径就是真实演化路径。

欧拉-拉格朗日方程

不同演化路径的比较，自然是通过每个时刻的差异进行“纵向”比较，在这种比较中，时间只是一个固定的参数而已。基于这种思路，可以“微分”的方法求作用量的的变分： \[ \begin{aligned}\delta\mathrm{S}&=\int^{t_1}_{t_0}{\delta\mathrm{L}dt}\\ &=\int^{t_1}_{t_0}{(\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}\delta q^\mu+\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\delta \dot{q}^\mu)dt}\quad \text{仿照微分}\\ &=\int^{t_1}_{t_0}{\left[\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}\delta q^\mu+\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\frac{d}{dt}(\delta q^\mu)\right]dt}\quad \text{微分变分视角切换}\\ &=\int^{t_1}_{t_0}{\left[\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}\delta q^\mu+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\delta q^\mu\right)-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\right)\delta q^\mu\right]dt}\\ &=\int^{t_1}_{t_0}{\left[\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\right)\right]\delta q^\mu dt}+\left.\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\delta q^\mu\right|^{t_1}_{t_0} \\ &=\int^{t_1}_{t_0}{\left[\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}\right)\right]\delta q^\mu dt}\quad \text{固定边界} \end{aligned} \] 根据最小作用原理，真实演化路径必须满足 \(\delta \mathrm{S}=0\) ，考虑到路径变分任意性，可写出真实演化路径的方程，称之为欧拉-拉格朗日方程： \[ \boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial \dot{q}^\mu}=\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial q^\mu}} \quad \mu=1\dots n \]

拉格朗日量的形式

只要知道系统的拉格朗日量，就能够写出演化方程。

但系统的拉格朗日量的具体形式是什么？ 这就需要具体相关领域的知识，特别是系统拥有的对称性。

后面将会陆续展开讨论：如何通过系统对称性写出拉格朗日量。

所以，拉格朗日力学其实就是个理论框架。

拉格朗日场论

前面的拉格朗日力学所对应拉格朗日量，只适用于有限自由度的力学系。

以标量场为例，考察场的状态描述方法。标量场首先是关于流形上点的函数，其次还要考察标量场的演化，必然还和时间有关，所以标量场可写成 \(\phi(q,t)\) 。

注意， \(\phi(q,t)\) 其实是和前面拉格朗日力学种的位形变量 \(q(t)\) 相对应的，进而有如下对应：

由于标量场"弥散"在整个流形 \(M\) 上，所以需要将空间每个部分“拉格朗日量”加起来得到整个系统的拉格朗日量，一个自然的想法就是引入拉格朗日密度(单位体积的拉格朗日量)： \[ \mathscr{L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t),\partial_\mu\phi(x,t)) \] 如果把"时空"看成一个整体，那么拉格朗日密度可改写成： \[ \boxed{\mathscr{L}(\phi,\partial_a\phi)} \] 那么整个系统的拉格朗日量可写成流形上的积分： \[ \boxed{\mathrm{L}=\int_M{\mathscr{L}(\phi,\partial_a \phi)}} \] 最后可以写出作用量： \[ \boxed{\mathrm{S}=\int^{t_1}_{t_0}{\mathrm{L}dt}=\int_U{\mathscr{L}(\phi,\partial_a \phi)}}\quad U=[t_0,t_1]\times M \]

在时空整体化后，有必要引入一个参数 \(\lambda\) 来替代 \(t\) （当然在特别情况下 \(\lambda=t\) ）。于是可对作用量进行变分：

最后得到标量场的欧拉-拉格朗日方程： \[ \boxed{\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}=\partial_a \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_a \phi)}} \] 上面仅仅是以标量场为例，对应更复杂“场”，拉格朗日量密度可能形如: \[ \boxed{\mathscr{L}(\Psi,\nabla_a\Psi,\nabla^2\Psi,\dots, \nabla^k\Psi)} \] 其中， \(\Psi\) 代表一个或一组张量场， \(\nabla^k \Psi\overset{\Delta}{=}\nabla_{a_1}\dots\nabla_{a_k}\Psi\) 。

所以对复杂的情况，需要直接通过 \(\delta \mathrm{S}=0\) 推导出对应的演化方程。