辛群及其李代数

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通过类比正交群掌握辛群的基本概念。

反称度规 $s_{ab}$ ，是一个2-形式。只有偶数阶时，才是非奇异的。

辛群，是保反称度规的线性映射集合，也是李群。

辛群的元素，作为线性映射而言，就是正则变换。

辛群的李代数的元素，可以看成 $S^{-1}$ 乘上一个对称矩阵。

回顾（对称）度规和正交群

正交群 $$O(m)$$ ：正定度规下，全体保度规的线性映射集合。

这个度规 $g_{ab}$ ，是矢量空间 $$V$$ 上非奇异（非退化）的对称 $$(0,2)$$ 型张量，或者看成双线性映射 $g:V\times V\to\mathbb{R}$ ：

g(v,u)=g(u,v),\quad \forall v,u\in V

类似的，也可以引入反称度规 $s_{ab}$ ，但是反称的：

s(v,u)=-s(u,v)\quad \text{映射形式}\\ s_{ab}=-s_{ba}\quad \text{张量形式} \\ S^T=-S\quad \text{矩阵形式}

这个映射可写成：

s(v,u)=s_{ab} v^a u^b

由于反称度规 $s_{ab}$ 是非奇异的，必然也有逆 $s^{ab}$ ，并且满足：

s_{ab}s^{bc}=\delta^c_a=s^{cb}s_{ba}

只有当 $$m$$ 是偶数时， $m\times m$ 的反称矩阵 $$S$$ 才是非奇异的。

于是，类似正交群， 辛群的元素 $$Z$$ （正则变换）就是保反称度规 $s_{ab}$ 的线性映射：

s_{ab}Z^a_{\ \ c}Z^b_{\ \ d}=s_{cd}\\Z^T S\ Z =S

辛群一般记作 $Sp(\frac{m}{2})$ ：

Sp(\frac{m}{2})=\left\{Z^a_{\ \ b}\in \mathscr{T}(1,1)|s_{ab}Z^a_{\ \ c}Z^b_{\ \ d}=s_{cd}\right\}

实际上，反称度规 $s_{ab}$ ，作为一个反称张量，其实就2-形式。如果选择一个基底 $\{(e_\mu)^a\}$ ，相应有对偶基底 $\{(e^\mu)_a\}$ 。于是反称度规 $s_{ab}$ ：

s_{ab}=s_{[ab]}=\sum_{(\mu,\upsilon)\in\chi_2(1\dots m)}{s_{\mu\upsilon}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b}

其中 $\chi_2(1\dots m)$ 代表从 $\{1\dots m\}$ 中取2个数的组合集。

反称度规分量 $s_{\mu\upsilon}$ 则可写成

s_{\mu\upsilon}=s(e^\mu,e^\upsilon)=s_{ab}(e^\mu)_a(e^\upsilon)_b

给定(对称)度规，则存在特别的正交归一基底，使得度规的分量矩阵成为简单的单位矩阵。

类似的，给定反称度规，也存在所谓的正则归一基底。使得反称度规分量矩阵有如下简单形式:

(s_{\mu\upsilon})=\begin{pmatrix} 0 & -I_{\frac{m}{2}} \\ I_{\frac{m}{2}} & 0 \end{pmatrix}

这里 $I_{\frac{m}{2}}$ 代表 $\frac{m}{2}$ 阶单位矩阵。从这个形式，也可看出辛群记作 $Sp(\frac{m}{2})$ 的原因。

此时，反称度规可表示成(只能偶数阶)：

\begin{aligned}s_{ab}&=\sum_{(\mu,\upsilon)\in\chi_2(1\dots m)}{s_{\mu\upsilon}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b} \\ &=\sum_{(\mu,\upsilon)\in\chi_2(1\dots \frac{m}{2})}{s_{\mu\upsilon}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b}+\sum_{\mu<=\frac{m}{2}<\upsilon}{s_{\mu\upsilon}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b}\\ & \qquad+\sum_{(\mu,\upsilon)\in\chi_2(\frac{m}{2}+1\dots m)}{s_{\mu\upsilon}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b} \\ &=-\sum_{\mu<=\frac{m}{2}<\upsilon}{\delta_{\mu(\upsilon-\frac{m}{2})}(e^\mu)_a\wedge(e^\upsilon)_b}=\sum_{\upsilon=\mu+\frac{m}{2}}{(e^\upsilon)_a\wedge(e^\mu)_b}\\ &=\boxed{\sum^{\frac{m}{2}}_{\mu=1}{(e^{\mu+\frac{m}{2}})_a\wedge(e^\mu)_b}}\end{aligned}

方框中的形式说明：前面最简单的反称度规矩阵，的确对应我们要的最简单2-形式。

辛群 $Sp(\frac{m}{2})$ ，也可以写成同构的矩阵形式：

Sp(\frac{m}{2})=\left\{Z\in G\!L(m)|Z^T S Z=S\right\}

考虑辛群 $Sp(\frac{m}{2})$ 中的一条过恒等元的曲线 $Z(t),\quad Z(0)=I,Z^T(t)\ S\ Z(t)=S$ 。

于是 $\left.\dfrac{d Z(t)}{dt}\right|_{t=0}=A$ 就是李代数上的元素，于是有：

\begin{aligned}0&=\left.\frac{d}{dt}\left(Z^T(t)\ S\ Z(t)\right)\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{d Z^T(t)}{dt}\right|_{t=0}\ S\ Z(0)+Z^T(0)\ S\ \left.\frac{d Z(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=A^T\ S+S\ A\\ \\ \Rightarrow \quad &S A = (S A)^T\end{aligned}

所以辛群 $S\!p(\frac{m}{2})$ 的李代数可表示成 $\mathscr{S\!p}(\frac{m}{2})$ ：

\begin{aligned}\mathscr{S\!p}(\frac{m}{2})&=\left\{A\in M(m,\mathbb{R})|S A = (S A)^T\right\}\\ &=\left\{A=S^{-1}X|X = X^T,X\in M(m,\mathbb{R})\right\}\end{aligned}

由此可见，辛群的维度是：

\dim S\!p(\frac{m}{2})=\dim \mathscr{S\!p}(\frac{m}{2})=\frac{1}{2}m(m+1)