流形上的微分形式及其对偶

2020-01-22

| 微分几何 | | 流形 , 微分形式 , 楔积 , 定向 , 体元 |

微分形式就是全反称全下指标张量，是流形上微积分的作用对象。

对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性，这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。

为流形上每个点选一个微分形式，就得到微分形式场。

流形的定向，由处处连续非零的 $$n$$ 形式场（体元场）确定。

度规适配体元，就是正交归一基底下的分量为 $\pm 1$ 的体元。右手系取1，左手系取-1。

利用适配体元引入霍奇星算子（求微分形式的对偶）。

用普通导数算符和抽象指标可简化欧氏空间上矢量代数公式的推导。

矢量空间上的微分形式

$\omega_{a_1\dots a_l}\in\mathscr{T}_V(0,l)$ 叫 $$V$$ 上的 $$l$$ 次形式( $$l$$ 形式)，若

\omega_{a_1\dots a_l}=\omega_{[a_1\dots a_l]} \quad \text{or} \quad \omega_{(a_1\dots a_l)}=0

也就是说： $$l$$ 形式，就是全反称 $$(0,l)$$ 型张量。有时为简洁会记做 $\boldsymbol{\omega}$ 。　 $$V$$ 上的全体 $$l$$ 形式的集合记作 $\Lambda(l)\subset\mathscr{T}_V(0,l)$ 。　1形式就是 $$V$$ 上的对偶矢量，即 $\Lambda(1)=V^*$ 。约定实数可看成上的0形式，即 $\Lambda(0)=\mathbb{R}$ 。

“全反称"具有的基本性质就是就是微分形式该具有的性质。

在流形 $$M$$ 上点 $$p$$ 的切空间 $$V_p$$ 上自然也有微分形式 $\omega_{a_1\dots a_l}\in \Lambda_p(l)$ 。

微分形式构成线性空间

$\Lambda(l)$ 是 $\mathscr{T}_V(0,l)$ 的线性子空间，并且 $\dim \Lambda(l)=\dfrac{n!}{l!(n-l)!},\quad l\le n$ 。　

这个维度就是反称性导致形如 $\{e^{\mu_1}\wedge \dots \wedge e^{\mu_l}\}$ 的独立基底数就是组合总数 $$C^l_n$$ 。

微分形式的楔积

微分形式的楔积定义： $(\omega\wedge\mu)_{a_1\dots a_l b_1\dots b_m}=\frac{(l+m)!}{l! m!}\omega_{[a_1\dots a_l}\mu_{b_1\dots b_m]}$

楔积的性质：

结合律： $\boldsymbol{\omega}\wedge(\boldsymbol{\mu}\wedge\boldsymbol{\upsilon})=(\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{\mu})\wedge\boldsymbol{\upsilon}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{\mu}\wedge\boldsymbol{\upsilon}$ ；
分配律： $\boldsymbol{\omega}\wedge(\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\upsilon})=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{\upsilon}$ ；
交换律一般不成立，但有： $\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{\mu}=(-1)^{lm}\boldsymbol{\mu}\wedge\boldsymbol{\omega}\quad \boldsymbol{\omega}\in\Lambda(l),\boldsymbol{\mu}\in\Lambda(m)$

微分形式的基底展开和分量

正如前面关于维度的提示，很容易写出微分形式的基底展开和分量表达式： $\omega_{a_1\dots a_l}=\sum_C{\omega_{\mu_1\dots\mu_l}(e^{\mu_1})_{a_1}\wedge\dots\wedge (e^{\mu_l})_{a_l}}=\frac{1}{l!}\omega_{\mu_1\dots\mu_l}(e^{\mu_1})_{a_1}\wedge\dots\wedge (e^{\mu_l})_{a_l}\\ \\ \omega_{\mu_1\dots\mu_l}=\omega_{a_1\dots a_l}(e_{\mu_1})^{a_1}\dots (e_{\mu_l})^{a_l}$

其中， $$C$$ 表示对偶基底的某种组合。没求和符则默认相同上下指标缩并。

特别地， $\boldsymbol{\omega}\overset{\Delta}{=}\omega_{a_1\dots a_n}\in \Lambda_M(n)$ 的展开只有一项（第二式是简写）： $\omega_{a_1\dots a_n}=\omega_{1\dots n} (e^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge (e^n)_{a_n} \\ \\ \boldsymbol{\omega}=\omega_{1\dots n} e^1\wedge\dots\wedge e^n$

流形上的微分形式场

对流形 $$M$$ 的每个点 $$p$$ 都指定 $$V_p$$ 上的一个 $$l$$ 形式，就得到 $$M$$ 上的一个 $$l$$ 形式场。用 $\Lambda_M(l)$ 代表 $$M$$ 上全体形式场的集合。

流形上的定向

根据 $$n$$ 维流形上的 $$n$$ 形式场展开式只有唯一项的事实，知道任意两个 $$n$$ 形式场只相差一个标量场因子： $\boldsymbol{\omega}_1=h \boldsymbol{\omega}_2,\quad \forall \boldsymbol{\omega}_1,\boldsymbol{\omega}_2 \in \Lambda_M(n),h\in \mathscr{F}_M$

我们知道，如果连续标量场(流形上的连续函数) $$h$$ 处处非零，那么 $$h$$ 要么处处为正，要么处处为为负。　于是连续的 $$n$$ 形式场处处非零，那么该微分形式场也要么处处为正，要么处处为为负。　据此可引入流形的可定向概念。

$$n$$ 维流形 $$M$$ 称为可定向的，若其上存在 $$C^0$$ 且处处非零的 $$n$$ 形式场 $\boldsymbol{\varepsilon}$ 。如果两个 $$n$$ 形式场处处同号（相差的标量场因子始终为正），则称是同一个定向。

比如： $\mathbb{R}^3$ 就是可定向流形，因为其上存在 $C^\infty$ 的3形式场 $\boldsymbol{\varepsilon}=dx\wedge dy\wedge dz$ 。

右手系、左手系

一旦选定了流形 $$M$$ 的定向(如果可定向的话)，所谓右手基底场，就是保证 $$n$$ 形式场的分量场（标量场）始终为正的基底场；始终为负的情况，就是左手基底场。

如果选择的是坐标系的话，就分别对应右手系和左手系。

体元、度规适配体元

1. 体元

前面所提及的，可定向 $$n$$ 维流形 $$M$$ 所存在的处处连续非零的 $$n$$ 形式场 $\boldsymbol{\varepsilon}$ ，就是一个体元。并知道体元不是唯一的，但最多相差一个标量场因子。

如果流形上给定了度规 $g_{ab}$ ，那么 $\begin{aligned}\varepsilon^{a_1\dots a_n}\varepsilon_{a_1\dots a_n}=&\varepsilon^{\mu_1\dots \mu_n}\varepsilon_{\mu_1\dots \mu_n}=g^{\mu_1\upsilon_1}\dots g^{\mu_n\upsilon_n}\varepsilon_{\mu_1\dots \mu_n}\varepsilon_{\upsilon_1\dots \upsilon_n}\\ = & \sum_{\mu_1\dots\mu_n}{\sum_{\upsilon_1\dots\upsilon_n}{g^{\mu_1\upsilon_1}\dots g^{\mu_n\upsilon_n}\varepsilon_{\mu_1\dots \mu_n}\varepsilon_{\upsilon_1\dots \upsilon_n}}}\\ = & \sum_{\mu_1\dots\mu_n}{(-1)^{\pi(\mu_1\dots \mu_n)}\sum_{\upsilon_1\dots\upsilon_n}{(-1)^{\pi(\upsilon_1\dots \upsilon_n)}g^{\mu_1\upsilon_1}\dots g^{\mu_n\upsilon_n}}}(\varepsilon_{1\dots n})^2\\ = & n! \sum_{\upsilon_1\dots\upsilon_n}{(-1)^{\pi(\upsilon_1\dots \upsilon_n)}g^{1\upsilon_1}\dots g^{n\upsilon_n}}(\varepsilon_{1\dots n})^2\\ = & n! \det\left(g^{\mu\upsilon}\right)(\varepsilon_{1\dots n})^2\end{aligned}$ 其中： $\pi(\mu_1\dots\mu_n)$ 表示全排列的逆序数。倒数第二个等号是因为内层求和具有行列式的特征，外层求和的 $(-1)^{\pi(\mu_1\dots\mu_n)}$ 表示对内层行列式进行 $\pi(\mu_1\dots\mu_n)$ 次行交换，就能把 $(\mu_1\dots\mu_n)$ 变成 $(1\dots n)$ ，而全排列项数是 $$n!$$ 。最后用行列式符号表示。

如果选择正交归一基底，那么度规矩阵可以写成对角元素为 $\pm 1$ 的对角矩阵，进而 $\varepsilon^{a_1\dots a_n}\varepsilon_{a_1\dots a_n}=(-1)^s n!(\varepsilon_{1\dots n})^2$

其中， $$s$$ 是度规对角元素是 $$-1$$ 的个数。

2. 度规适配体元

进一步要求（右手系取正，左手系取负） $\varepsilon_{1\dots n}=\pm 1$

于是有 $\varepsilon^{a_1\dots a_n}\varepsilon_{a_1\dots a_n}=(-1)^s n!$

称此时的 $\varepsilon_{a_1\dots a_n}$ 为与度规 $g_{ab}$ 相适配的体元。

适配体元对应的 $\varepsilon^{a_1\dots a_n}\varepsilon_{a_1\dots a_n}$ 作为绝对量，和基底的选择无关，所以对任意基底 $\{(e_\mu)^a\}\quad \{(e^\mu)_a\}$ ，下式成立: $\begin{aligned}&n! \det\left(g^{\mu\upsilon}\right)(\varepsilon_{1\dots n})^2=(-1)^s n!\\ \Rightarrow & (\varepsilon_{1\dots n})^2=(-1)^s \det\left(g_{\mu\upsilon}\right)\overset{\Delta}{=}(-1)^s g\\ \Rightarrow & \varepsilon_{1\dots n}=\pm \sqrt{|g|} \quad \text{右手系取正，左手系取负}\end{aligned}$ 所以度规 $g_{ab}$ 适配体元 $\varepsilon_{a_1\dots a_n}$ 可写成（右手系取正，左手系取负）： $\varepsilon_{a_1\dots a_n}=\pm \sqrt{|g|}(e^1)_{a_1}\wedge\dots\wedge(e^n)_{a_n},\quad g=\det(g_{\mu\upsilon})$ 特别地，对正交归一基底， $$|g|=1$$ 。

3. 度规适配体元性质

度规适配导数算符作用于度规适配体元得0，即 $\nabla_b \varepsilon_{a_1\dots a_n}=0$
两个有用的关系： $\varepsilon^{a_1\dots a_n}\varepsilon_{b_1\dots b_n}=(-1)^s n!\delta^{[a_1}_{\ \ b_1}\dots\delta^{a_n]}_{\ \ b_n} \\ \quad \\ \varepsilon^{a_1\dots a_j a_{j+1} \dots a_n}\varepsilon_{a_1\dots a_j b_{j+1} \dots b_n}=(-1)^s (n-j)!j!\delta^{[a_{j+1}}_{\ \ \quad b_{j+1}}\dots\delta^{a_n]}_{\ \ b_n}$

对偶微分形式

注意到 $$l$$ 形式和 $$(n-l)$$ 形式具有相同的维度 $\dim \Lambda_p(l)=\frac{n!}{l!(n-l)!}=\dim \Lambda_p(n-1)$ 考虑定向流形 $(M,g_{ab})$ ， $\boldsymbol{\varepsilon}$ 是度规适配体元，于是可以定义一个同构映射

\begin{aligned}^*:&\Lambda_M(l) &\to& \Lambda_M(n-l)\\ & \omega_{a_1\dots a_n} &\mapsto& *\omega_{a_1\dots a_n}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{l!}\omega^{b_1\dots b_l}\varepsilon_{b_1\dots b_l a_1\dots a_{n-l}}\end{aligned}

$$^*$$ 称作霍奇星算子（Hodge star）， $^*\boldsymbol{\omega}$ 称作 $\boldsymbol{\omega}$ 的对偶微分形式。

特别地

\begin{aligned}(^*f)_{a_1\dots a_n}=\frac{1}{0!}f \varepsilon_{a_1\dots a_n}=f \varepsilon_{a_1\dots a_n}\\ ^*(^*f)=^*(f\boldsymbol{\varepsilon})=\frac{1}{n!}f \varepsilon_{a_1\dots a_n}=(-1)^sf\end{aligned}

一般地 $^*{^*\boldsymbol{\omega}}=(-1)^{s+l(n-l)}\boldsymbol{\omega}$

三维欧氏空间的矢量代数

1. 符号解释

\vec{A}\overset{\Delta}{=}A^a \quad \boldsymbol{A}\overset{\Delta}{=}A_a=\delta_{ab}A^b\\ \vec{A}\cdot\vec{B}\overset{\Delta}{=}A_a B^a \\ \vec{A}\times\vec{B}\overset{\Delta}{=}{^*(\boldsymbol{A}\wedge\boldsymbol{B})}=\varepsilon_{abc}A^aB^b

2. 导数算符

\vec{\nabla}\overset{\Delta}{=}\nabla_a=\partial_a \\ \vec{\nabla}f=\partial_a f\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_a A^a \quad \vec{\nabla}\times\vec{A}=\varepsilon^{abc}\partial_a A^b \\ \vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\vec{B})=\partial_a(A^a B^b) \\ \vec{\nabla}\vec{A}=\partial^a A^b \quad \nabla^2 f=\partial_a\partial^a f\quad \nabla^2 \vec{A}=\partial_a\partial^a A^b

3. 常用公式（可用普通导数算符和抽象指标简化推导）

\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) - \vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B})\\ \quad \\ \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})