流形上的导数算符
评论
定义
导数算符，就是欧氏空间我们所熟悉的
\(\vec\nabla\)
，作用于标量场
\(f\)
就是梯度
\(\vec\nabla f\)
，作用于矢量场
\(\vec v\)
再缩并就是散度
\(\vec\nabla \cdot \vec v\)
。欧氏空间是有度规的，我们知道在有度规的情况下，度规可对张量指标进行“上升下降操作”，所以任何矢量都存在其自然对应的对偶矢量。如果要推广到任意流形，就必须分清楚矢量和对偶矢量（因为没有度规了）。
我们发现 \(\vec\nabla\) 更像对偶矢量，所以我们将 \(\vec\nabla\) 记作 \(\nabla_a\) 。所谓“更像”，指的是作用于函数 \(f\) 的结果是一个对偶矢量 \(\nabla_a f\) ，而 \(\nabla_a\) 本身仅仅是一个算符，为了指标平衡而做的记号而已。
流形
\(M\)
上全体型
\(C^\infty\)
的
\((k,l)\)
型张量场的集合，记作
\(\mathscr{F}_M(k,l)\)
（特别地，标量场
\(\mathscr{F}_M\overset{\Delta}{=}\mathscr{F}_M(0,0)\)
）。映射
\(\nabla:\mathscr{F}_M(k,l)\to\mathscr{F}_M(k,l+1)\)
称为
\(M\)
上的（无绕）导数算符，如果满足下列条件：
-
线性性质： \( \nabla_a(\alpha T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}+\beta S^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l})=\alpha \nabla_a T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_k}+\beta \nabla_a S^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l} \\ \forall \ T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l},S^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}\in\mathscr{F}_M(k,l),\alpha,\beta\in\mathbb{R} \) -
满足
莱布尼茨律： \( \nabla_a(T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}S^{d_1,\dots,d_{k'}}_{\ \ \qquad e_1,\dots,e_{l'}})=S^{d_1,\dots,d_{k'}}_{\ \ \qquad e_1,\dots,e_{l'}} \nabla_a T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}+T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}\nabla_a S^{d_1,\dots,d_{k'}}_{\ \ \qquad e_1,\dots,e_{l'}} \\ \forall \ T^{b_1,\dots,b_k}_{\ \ \qquad c_1,\dots,c_l}\in\mathscr{F}_M(k,l),S^{d_1,\dots,d_{k'}}_{\ \ \qquad e_1,\dots,e_{l'}}\in\mathscr{F}_M(k',l') \) -
与缩并可交换： \(\nabla \circ C = C \circ \nabla\) ，其中 \(C\) 代表缩并。 -
可退化性： \(v(f)=v^a\nabla_a f,\quad \forall f\in\mathscr{F}_M,v\in\mathscr{F}_M(1,0)\) -
无挠性： \(\nabla_a\nabla_b f=\nabla_b\nabla_a f, \quad \forall f\in\mathscr{F}_M\)
其中第４条形式，本质反应了此定义的可退化性，因为根据这条性质容易证明：
\[
\nabla_a f=(df)_a, \quad \forall f\in\mathscr{F}_M
\]
这就是所谓的梯度，也就是函数
\(f\)
生成的对偶矢量场
\(df\)
的抽象指标表示，同时也表明算符
\(\vec\nabla\)
"更像"对偶矢量。
默认情况下，导数算符，我们都特指无挠导数算符。
任意两个导数算符的差异性
上面这形如公理化的定义，直观上看，是无法保证定义的唯一性。 为此我们必须研究任意两个不同的导数算符之间的关系。
根据定义的可退化性，知道导数算符作用到标量场 \(f\) 时，定义是唯一的： \[ \nabla_a f=\tilde{\nabla}_a f=(df)_a, \quad \forall f\in\mathscr{F}_M \] 所以他们的不同只能表现在更高阶张量场上。
先把目标集中在 \((\tilde{\nabla}_a-\nabla_a)\) 作用在对偶矢量 \(\omega_b\) 上的情况上。我们发现，对流形 \(M\) 上的任意一点 \(p\) 而言， \(\left[(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a)\omega_b\right]_p\) 只依赖于 \(\omega_b\) 在 \(p\) 点的值，而与 \(\omega_b\) 其它部分无关。
取两个满足条件的对偶矢量 \(\omega_b,\omega'_b,\left. \omega_b\right|_p=\left.\omega'_b\right|_p\) ，于是 \(\Omega_b\overset{\Delta}{=}\omega'_b-\omega_b, \quad \left.\Omega_b\right|_p=0\) ，引入坐标系 \({x^\mu}\) 并使坐标域含 \(p\) ，于是有：
\[ \begin{aligned} \left[\nabla_a \Omega_b \right]_p &= \left\{ \nabla_a [\Omega_\mu(dx^\mu)_b] \right\}_p \\ &=\left[(dx^\mu)_b \nabla_a\Omega_\mu\right]_p+\Omega_\mu(p)\left[\nabla_a(dx^\mu)_b\right]_p \\ &=\left[(dx^\mu)_b \nabla_a\Omega_\mu\right]_p\end{aligned} \]同样有： \[ \left[ \tilde{\nabla}_a \Omega_b \right]_p =\left[(dx^\mu)_b \tilde{\nabla}_a\Omega_\mu\right]_p \] 注意到含具体指标的 \(\Omega_\mu\) 本质上一个标量场，所以：
\[ \nabla_a\Omega_\mu= \tilde{\nabla}_a\Omega_\mu \Rightarrow \left[(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a) \Omega_b \right]_p=0 \]这个结论说明
\((\tilde{\nabla}_a-\nabla_a)\)
是一个线性算符(映射)：
\[
\begin{aligned} (\tilde{\nabla}_a-\nabla_a)&:&\mathscr{T}_p(0,1)&\to& &\mathscr{T}_p(0,2) \\ & &\left.\omega_b\right|_p&\mapsto& &\left[(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a) \omega_b \right]_p\end{aligned}
\]
恰好张量就能看成一个线性映射，也就是说
\((\tilde{\nabla}_a-\nabla_a)\)
对应一个张量
\(C^c_{\ \ ab}\)
，满足：
\[
\left[(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a) \omega_b \right]_p=\left[C^c_{\ \ ab}\omega_c\right]_p
\]
考虑到
\(p\)
点选择的任意性，所以流形
\(M\)
上的两个导数算符
\(\tilde{\nabla}_a\)
和
\(\nabla_a\)
在对
\(\omega_b\)
的作用上的差别体现为
\(M\)
上的一个
\((1,2)\)
型张量场
\(C^c_{\ \ ab}\)
，即：
\[
\nabla_a\omega_b =\tilde{\nabla}_a\omega_b-C^c_{\ \ ab}\omega_c,\quad \forall \omega_b\in\mathscr{F}_M(0,1)
\]
注意：无挠性保证了
\(C^c_{\ \ ab}\)
的对称性：
\(C^c_{\ \ ab}=C^c_{\ \ ba}\)
。
根据矢量场与对偶矢量相互作用的结果是标量场的事实，容易推出导数算符 \(\nabla_a\) 作用于矢量场 \(v^b\) 的结论： \[ \nabla_a v^b=\tilde{\nabla}_a v^b+C^b_{\ \ ac} v^c \] 进一步可构造出作用于张量 \(T^b_{\ \ c}\) 的结论： \[ \nabla_a T^b_{\ \ c}=\tilde{\nabla}_a T^b_{\ \ c}+C^{b}_{\ \ ad}T^d_{\ \ c}-C^{d}_{\ \ ab}T^b_{\ \ d} \] 更一般的结论： \[ \nabla_a T^{b_1\dots b_k}_{\ \ \qquad c_1\dots c_l}=\tilde{\nabla}_a T^{b_1\dots b_k}_{\ \ \qquad c_1\dots c_l}+\sum_j{C^{b_i}_{\ \ ad}T^{b_1\dots d\dots b_k}_{\ \ \qquad c_1\dots c_l}}\\-\sum_j{C^{d}_{\ \ ac_i}T^{b_1\dots b_k}_{\ \ \qquad c_1\dots d\dots c_l}},\quad \forall T\in\mathscr{F}_M(k,l) \]
克氏符（Christoffel symbol）
导数算符，虽然不是唯一的，但也不是任意的。因为，一旦选定某个导数算符，随之而确定。 在选定一个局域坐标系
\(\{x^\mu\}\)
的情况下，一个自然的选择就是偏导数
\(\partial_\mu\overset{\Delta}{=}\partial/\partial x^\mu\)
所对应的抽象指标形式
\(\partial_a\)
，我们称之为该坐标系的普通导数算符，比如：
\[
\partial_a T^b_{\ \ c}=(dx^\mu)_a(\partial/\partial x^\upsilon)^b(dx^\sigma)_c\partial_\mu T^\upsilon_{\ \ \sigma}
\]
普通导数算符有一些导数算符一般不具备的性质：
-
普通导数算符作用于自身所依赖的坐标系的坐标基矢和对偶坐标基矢的结果都为０： \( \partial_a(\partial/\partial x^v)^b=0,\quad\partial_a(d x^v)_b=0 \) -
普通导数算符对任意型张量都是可交换的： \( \partial_a\partial_b T=\partial_b\partial_a T \quad\Leftrightarrow\quad \partial_{[a}\partial_{b]}T=0 \)
设
\(\partial_a\)
是
\((M,\nabla_a)\)
上给定坐标系的普通导数算符，体现
\(\nabla_a\)
和
\(\partial_a\)
差别的张量场
\(C^c_{\ \ ab}\)
被称为
\(\nabla_a\)
在该坐标系的克氏符，记做
\(\Gamma^c_{\ \ ab}\)
。此时，
\(\nabla_a\)
称作协变导数算符。
为协变导数算符和普通导数算符作用张量后的坐标分量分别引入新的记号：
\[
T^\upsilon_{\ \ \sigma;\mu}\overset{\Delta}{=}\nabla_\mu T^\upsilon_{\ \ \sigma} \\ T^\upsilon_{\ \ \sigma,\mu}\overset{\Delta}{=}\partial_\mu T^\upsilon_{\ \ \sigma}
\]
于是协变导数和普通导数的分量关系式：
\[
T^\upsilon_{\ \ \sigma;\mu}=T^\upsilon_{\ \ \sigma,\mu}+\Gamma^{\upsilon}_{\ \ \mu\alpha}T^\alpha_{\ \ \sigma}-\Gamma^{\alpha}_{\ \ \mu\sigma}T^\upsilon_{\ \ \alpha}
\]
导数算符的两个性质
由导数算符与缩并的可交换性，可等价推导出：
\[
\nabla_a \delta^b_{\ \ c}=0
\]
利用导数算符可写出矢量场对易子的显式表达式：
\[
\left[u,v\right]^a=u^b\nabla_b v^a-v^b\nabla_b u^a
\]