第八章 估值理论
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离散随机模型
考虑 \(N+1\) 个资产，经历 \(T\) 个时间单位的，关于价格的离散随机过程：
| 前续 | 当前 | 后续 | |
|---|---|---|---|
| 时刻 | \(t-1\) | \(t\) | \(t+1\) |
| 状态 | \(\phi(s,t)\) | \(s=\phi(z,t+1)\) | \(z\) |
时刻 \(t\) 的每个状态 \(s\) 代表：在时刻 \(t\) 的历史价格路径。如果给定时刻 \(t\) 的状态 \(s\) ，那么 \(s\) 有确定的前续状态记为 \(\phi(s,t)\) ，而 \(s\) 的后续状态是不确定的，将 \(s\) 所有可能的后续状态集记为 \(\Omega(s,t)\) ；并且将时刻 \(t\) 的所有状态集记为 \(\Phi(t)\) 。
假设我们知道时刻 \(t\) 状态 \(s\) 的发生概率为 \(\pi(s,t)>0\) 。
资产价格由 \(\boldsymbol{p}(s,t)=(p_0(s,t),\dots,p_N(s,t))^T\) 表示，即在时刻 \(t\) 状态 \(s\) 下的价格向量。特别地， \(t=0\) 时刻仅有一种状态，不妨记 \(\boldsymbol{p}(s,0)=\boldsymbol{p}(0)\) 。第0个资产是无风险资产：
\[ p_0(z,t+1)=\left[1+i_F(s,t) \right]\ p_0(s,t) , \quad \forall z\in \Omega(s,t) \]引入与前几章头寸权重类似的概念－投资策略 \(\boldsymbol{w}(s,t)=(w_0(s,t),\dots,w_N(s,t))^T\) ，表示资产的持仓数。进而可定义投资组合在时刻 \(t\) 状态 \(s\) 下的价值：
\[ W(s,t)=\boldsymbol{w}^T(s,t)\ \boldsymbol{p}(s,t) \]强制投资策略满足自融资约束（组合价值在头寸调整前与调整后是一致的）：
\[ W(s,t)=\boldsymbol{w}^T(s,t)\ \boldsymbol{p}(s,t)=\boldsymbol{w}^T(\phi(s,t),t-1)\ \boldsymbol{p}(s,t), \quad \forall t\ge1, \forall s\in \Phi(t) \]套利机会
我们称套利机会存在，如果存在满足如下性质的投资策略：
１）所需初始资金非正，即 \(W(0)\le0\) ：
２）绝对不会亏钱，即 \(W(s,T)\ge 0, \quad \forall s\in \Phi(T)\) ；
３）至少在一种可能结果中赚钱，即 \(\sum\limits_{s\in \Phi(T)}{W(s,T)}>0\) 。
估值公式：资产定价第一基本定律
如果不存在套利机会，那么存在一个正值的估值乘子 \(v(s,t)>0\) ，满足：
\[ \frac{\boldsymbol{p}(0)}{p_0(0)}=\sum_{s\in \Phi(t)}{\pi(s,t) v(s,t) \frac{\boldsymbol{p}(s,t)}{p_0(s,t)}} \]证明有待细看（尚未完全看懂）。
风险调整期望（风险中性期望）
第一基本定律的证明过程中构造出一个新的概率 \(\pi(s,t)\) ，称作风险中性概率或鞅概率，进而构造出价值乘子 \(v(s,t)\) ：
\[ v(s,t)=\frac{\pi^*(s,t)}{\pi(s,t)} \]注意到第一基本定律具有数学期望的形式，进而可改写成：
\[ \boldsymbol{p}(0) = p_0(0)\ \mathrm{E}\left\{v(t) \frac{\boldsymbol{p}(t)}{p_0(t)}\right\} = p_0(0)\ \mathrm{E}^*\left\{\frac{\boldsymbol{p}(t)}{p_0(t)}\right\}, \quad \forall t\ge 1 \]其中， \(\mathrm{E}\) 是真实概率分布的数学期望，我称之为真实期望，而 \(\mathrm{E}^*\) 则是风险中性概率分布的数学期望，在本书中被称作风险调整期望，我认为称作风险中性期望似乎更好。而前面的价值乘子 \(v(s,t)\) ，就是一个Radon-Nikodyn导致。
所有现代的估值理论，包括期权定价理论、CAPM和APT都使用了上述形式的估值公式。
确定现金流的估值
资产定价第一基本定律，本质上一个递推公式： \(t=0\) 时刻的正确定价依赖于 \(t>0\) 时刻的正确定价。特别地，对于一个确定的现金流，递推的结果就是：任何 \(t\) 时刻的估值完全由相对 \(t\) 时刻的未来剩余现金流确定。也就是对现金流的每个偿付套用估值公式然后求和，而特定 \(t\) 时刻的确定现金偿付就是对应的定价，记作 \(\mathrm{cf}(t)\) ，于是有：
\[ p=p(0)=\sum_{t=1}^T{\mathrm{E}^*\{\frac{p(t)}{(1+i_F)^t}\}}=\sum_{t=1}^T{\frac{\mathrm{cf}(t)}{(1+i_F)^t}} \]注意：对应确定的现金流，任何时刻都只有一种状态，无论是真实概率还是风险中性概率都是1。
关于风险中性期望的计算
需要假定市场无套利，才能利用资产定价第一基本定律进行估值定价。
如果要对某个资产进行定价，首先需要知道风险中性概率分布，进而才能进行风险中性期望的计算。
如果有当前（ \(t=0\) 时刻）的市场价格 \(\boldsymbol{p}\) （根据假设，必定已经合理定价）和未来（ \(t>0\) 时刻）的可能状态 \(s\in \Phi(t)\) 对应的价格 \(\boldsymbol{p}(s,t)\) ，根据定价公式可以确定风险中性概率分布 \(\pi^*(s,t)\) ：
\[ \boldsymbol{p}=p_0\mathrm{E}^*\left\{\frac{\boldsymbol{p}(t)}{p_0(t)}\right\}=p_0\sum_{s\in \Phi(t)}{\pi^*(s,t) \frac{\boldsymbol{p}(s,t)}{p_0(s,t)}} \]如果考虑离散状态 \(s=1,\dots,S\) ，上述关系可改写矩阵方程形式：
\[ \begin{aligned} &\dfrac{\boldsymbol{p}}{p_0}=\boldsymbol{D}\ \boldsymbol{\pi}^* \\ 其中，&\boldsymbol{D}=(D_{i,s})_{(N+1)\times S} \quad t时刻，第i资产第s状态"标准化价格" \\ & \boldsymbol{\pi}^*=(\pi_1^*,\dots,\pi_S^*) \quad 第s状态发生的概率 \end{aligned} \]矩阵方程的第0资产(无风险资产)对应的分量方程恰满足概率归一条件：
\[ 1=\sum_{s=1}^S{\pi_s^*} \]对于 \(S\) 个状态，只需要 \(S-1\) 个风险资产就可以确定风险中性概率分布。
我们发现，无需知道真实概率分布（也无法知道），只要不存在套利机会，并且知道一部分基础资产的市场价格，那么就可唯一确定风险中性概率分布。