半单李代数的根系、权系和Dynkin图

2020-05-07

| 微分几何 | | 李代数 , 根系 , 权系 |

Dynkin图，可以完全确定“单根矢量几何”，所有根矢量都可用单根线性表出。

根系虽然不唯一，但这种不唯一性不会导致“几何”意义上的变化。

权，就是零根空间（嘉当子代数）所有基底的共同本征矢对应的本征根组成的矢量。而这个共同本征矢被称作权矢量。

非零根标准基底对应升降算符。正根对应升算符，负根对应降算符。

权矢量在升降算符的作用后，依然是权矢量，并且对应的权被提高或降低了。

如果某个权矢量被升算符作用后得零，那么该权矢量是最高权矢量，对应的权是最高权。

通过Dynkin图可衍生出不可约表示图，利用相关性质容易计算出不可约表示维度。

单根系

所谓不可约，就是不存在非平凡理想。所谓平凡，就是空集(0)和自身两种情况。

所谓完全可约，就是指可表示有限个不可约表示的直和。

所谓正根，就是在 $$l$$ 维零根空间中，第一个不为零的坐标为正的根。比如 $(0,0,\textcolor{red}{1},-1)$ 。根据半单李代数的对称性，必有对应的负根。所有的正根集记作 $\Sigma^+$ 。

一个根比另一个根更大 $\boldsymbol{\alpha}>\boldsymbol{\beta}$ ，指 $\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}$ 是正的。

所谓单根（又叫素根），也是一个正根，但无法将其分解成其它正根之和。比如：以 $$B_2$$ 代数为例只有两个单根 $\textcolor{blue}{(0,1)},\textcolor{blue}{(1,-1)}$ ，而 $(1,0)=\textcolor{blue}{(1,-1)}+\textcolor{blue}{(0,1)}$ 和 $(1,1)=\textcolor{blue}{(0,1)}+(1,0)$ 不是单根。

关于单根有一个定理：

$$l$$ 秩半单李代数，正好有 $$l$$ 个单根，记作 $\Pi=\{\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_1\}\subset\Sigma^+$ （约定从小到大排序），被称作单根系或 $\pi$ 系。有如下性质：

1）任意两个不同单根的内积非正： $\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}\le 0,\quad\boldsymbol{\alpha}\ne\boldsymbol{\beta}\quad\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in \Pi$ ；

2）任意根都可写成单根的线性组合： $\boldsymbol{\alpha}=\pm\sum^l_{i=1}{m_i\boldsymbol{\alpha}_i},\quad m_i\in \mathbb{Z}^+\cup\{0\},\quad\boldsymbol{\alpha}_i\in \Pi,\quad \forall \boldsymbol{\alpha}\in\Sigma$

单根之间的关系

沿用上一篇的结论

\cos^2\varphi=\frac{1}{4}\frac{2\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\frac{2\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}=0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}，1

对两个单根而言有附加条件

\varphi\ne 180^\circ \Longrightarrow \boxed{\cos^2\varphi\ne 1}\\\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}\le 0\Longrightarrow \boxed{\cos\varphi=\frac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{|\boldsymbol{\alpha}||\boldsymbol{\beta}|}\le 0}

所以只有四种情况

\boxed{\varphi=90^\circ,120^\circ,135^\circ,150^\circ}

这四种情况的单根矢量关系：

\boxed{\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c} \varphi=90^\circ & \varphi=120^\circ & \varphi=135^\circ & \varphi=150^\circ \\ \hline 垂直 & 等长 & 长\sqrt{2}倍比 & 长\sqrt{3}倍比 \\ \hdashline \boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}=0 & |\boldsymbol{\alpha}|=|\boldsymbol{\beta}| & \dfrac{|\boldsymbol{\alpha}|}{|\boldsymbol{\beta}|}=\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{|\boldsymbol{\alpha}|}{|\boldsymbol{\beta}|}=\sqrt{3},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{array}}

Dynkin图（单根角图）

根系图只能绘制秩 $$l=1,2$$ 的情况；而单根角图能绘制 $$l>2$$ 的任意情况。

绘制约定：

1）空圆表示长根，实圆表示短根；
2）相互正交（ $90^\circ$ ）不连线； $120^\circ$ 夹角连一线； $135^\circ$ 夹角连两线； $150^\circ$ 夹角连三线。
3）从左到右的单根，按从小到大排列。
4）任意一点不能有三条以上的线相连；必须是树形，不能包含闭环。
5）合法角图中，若将简单链缩为一点，依然是合法角图。所谓“简单链”，就是单重连线的一个链。【通过缩为一点判断角图的合法性】。比如下面这个角图是不合法的

对于1和2秩的Dynkin图见下图的蓝色部分：

以Dynkin图分类根系

下图是单李代数的所有分类。

关于根系的不唯一性

先回顾“半单李代数标准形式”的本征方程【见上一篇笔记】

(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b}X^b=\lambda X^a

虽然 $$A^a$$ 的选取有一定的"自由"，但不完全自由，因为必须要保证本征根的非重根的个数最多。在这种情况下，只有零根可能存在重根。并且所选的 $$A^a$$ 只能出现在零根空间（嘉当子代数）中，即

A^a=\chi^i(K_i)^a

进而，以作为 $\{\chi^i\}$ 作为“基底”，可将本征根表出【加粗的“矢量”就是根矢量】：

\alpha=\chi^i\alpha_i,\quad \boldsymbol{\alpha}\overset{\Delta}{=}(\alpha_1,\dots,\alpha_l)

由此可见

从实数根的角度看， $$A^a$$ 在嘉当子代数（零根空间）的不同选择，只会导致所有实数根乘上一个比例系数。【总结： $$A^a$$ 的选择可能会导致整个“根矢量几何”等比放大或缩小】
从根矢量的角度看，对于同一个实数根， $$A^a$$ 的选择虽然会改变根矢量的分量。但是不会改变根矢量和实数根的正负对应性，也不会改变任意两个根矢量的“几何”关系。【总结： $$A^a$$ 的选择可能会导致整个“根矢量几何”的旋转】

所以，根系的不唯一性，不会导致“几何”意义上的变化。

权与权空间

考虑 $$l$$ 秩李代数 $\mathscr{L}$ 的伴随表示 $\hat{L}$

\boxed{\begin{aligned}\hat{L}:&\mathscr{L}\to \mathscr{GL}(m,\mathbb{C})\\ &A\mapsto \hat{L}(A)\overset{\Delta}{=}\textcolor{red}{\mathrm{ad}_A}\quad\qquad\qquad \textcolor{blue}{伴随表示习惯写法}\\ &\qquad\qquad =(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b}=A^c C^a_{\ \ cb}\quad \textcolor{blue}{抽象指标写法} \end{aligned}}

选择标准基 $\{(K_i)^a,(H_\alpha)^a\}$ ，由于 $\hat{L}(K_i), i=1,\dots,l$ 是相互对易的，所以有共同的本征矢 $\textcolor{red}{|u\rangle\overset{\Delta}{=}u^a\in \mathscr{L}}$

\hat{L}(K_i)|u\rangle=\Lambda_i |u\rangle,\quad i=1,\dots,l

可以将不妨将 $\boldsymbol{\Lambda}=(\Lambda_1,\dots,\Lambda_l)$ 看成一个 $$l$$ 维矢量，称为权，所以被认为是 $$l$$ 维权空间 $\Delta_{\hat{L}}$ 。

一般而言，‘权’，是一个"矢量"，但不叫“权矢量”；权矢量，特指权 $\boldsymbol{\Lambda}$ 对应的本征矢量 $|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle$ 。

有时也经常直接用“权”来表示权矢量，比如：权 $\boldsymbol{\Lambda}=(1,2,3)$ ，对应的权矢量也可记作 $|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle=|123\rangle$ 。此时，“权”就是“权矢量”。

对于给定权 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，可能有多个本征矢（简并的），非简并的权，称作单权。

所谓正权，在 $$l$$ 维权空间中，是和“正根”完全对标的类似概念。一个权比另一个权更高 $\boldsymbol{\Lambda_1}>\boldsymbol{\Lambda_2}$ ，指 $\boldsymbol{\Lambda_1}-\boldsymbol{\Lambda_2}$ 是正的。

【注意区分】权 $\boldsymbol{\Lambda}=(\Lambda_1,\dots,\Lambda_l)\in\Delta_{\hat{L}}$ 和根矢量 $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_l)\in\Sigma$

根矢量，粗略来说，就是标准形式下非零根在**零根空间（嘉当子代数）**下分量组成“矢量”，由标准分解唯一确定，进而由李代数 $\mathscr{G}$ 本身唯一确定。所以非零根矢量空间 $\Sigma$ 没加下标。根矢量的概念涉及李代数的结构。
权，伴随表示 $\hat{L}$ 作用于**零根空间（嘉当子代数）**所有标准基后，共同本征矢各自对应的本征根组成“矢量”。所以，权空间 $\Delta_{\hat{L}}$ 有下标，表示依赖李代数 $\mathscr{G}$ 的一个伴随表示 $\hat{L}$ 。权的概念涉及李代数的表示。

关于李代数的表示论，有一个重要的定理

考虑伴随表示 $\hat{L}$ 的一个权 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，及其对应的本征矢 $|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle$ ，并设 $\Sigma$ 是李代数 $\mathscr{L}$ 的非零根系。如果 $\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\ne 0,\quad \boldsymbol{\alpha}\in\Sigma$ ，那么 $\boldsymbol{\Lambda}+\boldsymbol{\alpha}$ 也是表示 $\hat{L}$ 的一个权，并且对应的本征矢就是 $\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle$ 。如果 $\boldsymbol{\Lambda}+\boldsymbol{\alpha}$ 不是权，那么 $\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle=0$ 。

因为【提要】

\begin{aligned}\quad &\hat{L}(K_i)\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\\ =&[\hat{L}(K_i),\hat{L}(H_\alpha)]|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle+\hat{L}(H_\alpha)\hat{L}(K_i)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\\ =&\hat{L}([K_i,H_\alpha])|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle+\Lambda_i\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\quad \textcolor{red}{保李括号}\\ =&\hat{L}(\alpha_i H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle+\Lambda_i\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\quad \textcolor{red}{因为标准基}\\ =&(\alpha_i+\Lambda_i)\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle\\ \Longleftrightarrow \qquad & \boxed{\hat{L}(K_i)\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle=(\Lambda_i+\alpha_i)\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle} \end{aligned}

由此可见：【假设 $\alpha$ 是正根】

$\hat{L}(H_\alpha)$ 的作用，使本征矢量 $|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle$ （态）的权 $\boldsymbol{\Lambda}$ 升高一个正根 $\boldsymbol{\alpha}$ ，所以 $H_\boldsymbol{\alpha}$ 被称作升算符；
$\hat{L}(H_{-\alpha})$ 的作用，使 $|u_\boldsymbol{\Lambda}\rangle$ 的权 $\boldsymbol{\Lambda}$ 降低一个 $\boldsymbol{\alpha}$ ，所以 $H_{-\boldsymbol{\alpha}}$ 被称作降算符。

权系的一些性质

所谓权系和根系有密切关系。

考虑 $\hat{L}$ 是半单李代数 $\mathscr{L}$ 的一个不可约表示， $\boldsymbol{\Lambda}\in \Delta_{\hat{L}},\boldsymbol{\alpha}\in \Sigma$ ，于是有

1） $2\dfrac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\in \mathbb{Z}$ ，而 $\boldsymbol{\Lambda}-2\dfrac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\in \Delta_{\hat{L}}$ ，它与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 被称为等价的权。

2）等价的权具有相同的简并度。

3）设 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是单权，若 $\boldsymbol{\Lambda}+k\boldsymbol{\alpha}\in \Delta_{\hat{L}},k\in \mathbb{Z}$ ，则 $$k$$ 必有上下限 $-p\le k\le q,\quad p,q\ge 0$ ，并且 $2\dfrac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}=p-q$ 。

最高权(首权)

在有限维表示中，必有一个最高权 $\boldsymbol{M}$ ，升算符作用到最高权矢量上得零：

\hat{L}(H_\alpha)|u_\boldsymbol{M}\rangle=0,\quad \alpha>0

这也是计算最高权得主要方法。

关于最高权有两个重要定理：

单李代数不可约表示的最高权是单权，两个不可约表示等价的充要条件是它们的最高权相等。

最高权可表示为单根的线性组合。

根据权系性质，一个不可约半单李代数可完全用首权来标记：

\boxed{n_i=\frac{2\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}{\boldsymbol{\alpha}_i\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}\in \mathbb{N}\cup\{0\}},\quad i = 1,\dots,l,\quad \boldsymbol{\alpha}_i\in \Pi

根据这个定理，对于一个李代数，首先画出对应的单根图（Dynkin图），然后再每个单根上方用非负整数 $$n_i$$ 标记，于是这个图就代表这个李代数的一个特定不可约表示图。一般而言，可用 $$l$$ 个非负整数 $\textcolor{red}{(n_1,\dots,n_l)}$ 来标记一个不可约表示。比如：

图中所谓“简单线性方程”，实际就是下面方框中的方程： $\boldsymbol{M} =\sum^l_{i=k}{\textcolor{red}{b_k}\boldsymbol{\alpha}_k}\quad \textcolor{red}{b_k 是待定系数}\\ \frac{2\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}{\boldsymbol{\alpha}_i\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}=\boxed{2\sum^l_{k=1}{\left(\frac{\boldsymbol{\alpha}_k\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}{\boldsymbol{\alpha}_i\cdot\boldsymbol{\alpha}_i}\right)\textcolor{red}{b_k}}=n_i}$

不可约表示的维数

前面通过不可约表示图可求出首权（最高权），而不可约表示维数的计算与首权有密切的联系。

考虑半单李代数 $\mathscr{L}$ 的一个不可约表示 $\hat{L}$ ，其首权为 $$M$$ ，那么不可约表示的维数是 $\dim \hat{L}=\prod\limits_{\boldsymbol{\alpha}\in\Sigma^+}{\dfrac{(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{g})\cdot\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{\alpha}}},\quad \boldsymbol{g}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{\boldsymbol{\alpha}\in \Sigma^+}{\boldsymbol{\alpha}}$

经过简单细致计算不难算出， $$A_2$$ 的不可约表示 $$(n,m)$$ 维数是 $$(3n+1)(3m+1)$$ 。【计算过程和下面例子的完全类似】

最简单代数 $$A_1$$ （对应 $\mathrm{SU}(2)$ 群）：