半单李代数的标准形式
评论
用图示方法梳理典型群。
一个半单李代数的结构由一组
根向量决定。所谓
根矢量，就是在标准形式下，非零本征根在零根空间中的分量。所谓
标准形式，选择某个特定基底的李代数表示，这组特定基底满足：具有最多非重根数（实数根）。所谓
零根空间，就是零本征根（可能有重根）的所有本征矢量张成的空间。所谓
根系，就是半单李代数标准形式下的所有本征根，有时简称“根”。如果没有加粗，表示实数根 \(\alpha\) ；如果加粗了，表示根矢量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 。嗅到一股量子力学的味道。
最后是根矢量图示法。
本篇草稿： https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0083.ipynb
典型群
一些概念的补缺
只补充我以前笔记尚未涉及的、我认为必要的。 用纯语言进行提要。
所谓李代数的理想,，就是一个“好的”李子代数。所谓“好的”，这个子代数和整个李代数的李括号封闭到这个子代数自身。所以，这个理想又被称作不变李子代数。
所谓李代数的中心，就是一个极大可交换理想，即所有的两个元素的李括号等于0.
关于李代数的伴随表示，上一篇笔记有详细的介绍。
所谓单李代数，就是指“单纯的”李代数。所谓“单纯的”，就是指不含真理想。
所谓半单李代数，就是指“半单纯的”李代数。所谓“半单纯的”，就是除
\(\{0\}\)
外，不含可交换理想（即，阿贝尔理想）。
单纯李代数必定是半单李代数，反过来不一定正确。 有一个定理如下：
\(\mathscr{G}\) 是半单李代数，当且仅当， \(\mathscr{G}\) 可表示为一些理想的直和，并且这些理想都是单李代数。
还有一个定理，可更方便判断李代数是否是半单的，上一篇笔记也有涉及。
李代数是半单的，当且仅当，对应的Killing型式非退化的，即存在嘉当度规。
各种李代数的相互关系
由于我只关心半单李代数，这里只列各种李代数的关系，方便有个整体印象。其它我不关心的李代数，请自行翻书。
量子力学与李代数
以量子力学为例，来概要说明李代数的重要性。
量子力学的数学结构与泛函分析和李代数理论密切相关，其中所涉及的幺正变换（酉变换）还会涉及李群的表示论—- 更有趣的式，量子力学中的很多方法和结果都可以在半单李代数理论中找到对应，比如：
- 力学量完全集 \(\longleftrightarrow\) 嘉当子代数的基；
- “好"量子数 \(\longleftrightarrow\) 权和最高权
- 力学量完全集的共同本征矢量 \(\longleftrightarrow\) 权空间中的元素；
- 升、降算符 \(\longleftrightarrow\) 根向量；
半单李代数的标准形式
考虑半单李代数 \(\mathscr{G}\) 的一组基底 \(\{(E_\mu)^a\}\) ， \(\mathscr{G}\) 中的任意一个元素 \(A^a\) 可表示成
\[ A^a=A^\mu (E_\mu)^a \]考虑另一个元素
\[ X^a=X^\mu (E_\mu)^a \]满足：
\[ [A,X]^a=\lambda X^a \]可改写伴随变换(算符)
\(\mathrm{ad}_A\)
本征方程的形式
对应的分量形式：【方便具体计算】
\[ A^\mu C^\rho_{\ \ \mu\upsilon} X^\upsilon=\lambda X^\rho \]注意到：虽然本征方程的本征根和本征矢取决于的 \(A^a\) 选择，但如果我们附加一个要求：这个特征方程有最大可能的非重根数（实数根），那么不难想到：可以在某种程度上确定 \(A^a\) 及其对应的本征根和本征矢。
实际上，有一个重要的基本定理–嘉当定理，描述了这种情况下本征根的性质：
设选择一个 \(A^a\in \mathscr{G}\) ，使得上面这个本征方程有最大的非重根数(实数根)，那么对半单李代数而言，只有0根可能是重根，其它非零根不可能是重根。
求标准形式的一个例子
现在以
\(\mathscr{G}=\mathscr{SO}(3)\)
为例，求这种情况下的
\(A^a\)
及其对应的本征根和本征矢量。【用Julia求解，具体看我的草稿】
首先，求解一般情况下的本征根（复数域）
然后，为了确保出现最大可能非重根数（实数根），根号内必取正，于是可选择特定 \(A^\mu\) ： \(a_1=0,a_2=0,a_3=i\ a,\quad a>0\) ，进而可算出对应的本征根和本征矢量
最后，可写出三个本征根及其本征矢量
\[ \begin{aligned}A^a&=i\ \alpha (E_3)^a\\ \quad \\ (K_1)^a&=(E_3)^a\qquad \qquad \quad [A,K_1]^a=0 \\ (H_{\pm \alpha})^a&=(E_1)^a\pm i\ (E_2)^a\quad [A,H_{\pm \alpha}]^a=\pm \alpha (H_{\pm \alpha})^a\end{aligned} \]所以， \(\mathscr{SO}(3)\) 标准形式基底为：【随后的段落将解释标准形式的本征矢量为何要用 \(K,H\) 两个符号区分】
\[ \{(K_1)^a,(H_{\pm\alpha})^a\} \]嘉当李子代数（零根空间）
有了上面这个具体例子提供的感性认识下，我们可以继续讨论。
在这个标准形式下，如果0的重根数（简并度）为
\(l\)
，那么称
\(l\)
为半单李代数的秩。对应
\(l\)
个线性无关的本征矢
\(\{(K_i)^a\}\)
，并且可张成李代数
\(\mathscr{G}\)
的一个
\(l\)
维零根空间
此外，不难验证，这个零根空间
\(\mathscr{K}\)
满足李括号的雅可比恒等式，进而
\(\mathscr{K}\)
是
\(\mathscr{G}\)
的李子代数，称之为嘉当子代数，这是一个阿贝尔李子代数。
根据嘉当定理，标准形式下，非0根不可能出现重根，所以 \(\alpha\) 根对应的本征矢不妨记作 \((H_\alpha)^a\)
\[ \boxed{[A,H_\alpha]^a=(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b}(H_\alpha)^b=\alpha (H_\alpha)^a} \]标准形式下的结构常数
因为 \([A,K_i]^a=0,\quad i=1,\dots,l\) ，所以在标准形式下，我们选择的特定 \(A^a\) 可用零根空间的基底展开
\[ \boxed{A^a=\chi^i(K_i)^a} \]容易推导出：
\[ \boxed{\begin{aligned}(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b} [K_i,K_i]^b&=0\\(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b} [K_i,H_\alpha]^b&= \alpha [K_i,H_\alpha]^a\\(\mathrm{ad}_A)^a_{\ \ b} [H_\alpha,H_\beta]^b&= (\alpha+\beta) [H_\alpha,H_\beta]^a\end{aligned}} \]这意味着， \([K_i,K_i]^a,[K_i,H_\alpha]^a,[H_\alpha,H_\beta]^b\) ，这三个李括号也都算符 \(\mathrm{ad}_A\) 的本征矢。根据嘉当定理，非零本征根是非简并的，进而
\[ [K_i,H_\alpha]^a\propto (H_\alpha)^a\\ [H_\alpha,H_\beta]^a\propto (H_{\alpha+\beta})^a,\quad \alpha+\beta\ne0 \]于是有（分别选取比例系数 \(\alpha_i,h_{\alpha\beta}\) 后）
\[ \begin{aligned}\ [K_i,K_j]^a&=0\\ \ [K_i,H_\alpha]^a&= \alpha_i (H_\alpha)^a\\ \ [H_\alpha,H_\beta]^a&=\begin{cases} h_{\alpha\beta}(H_{\alpha+\beta})^a &\text{if } \alpha+\beta \in \textcolor{red}{\Sigma}\verb|\| \{0\} \\ 0 &\text{if } \alpha+\beta \notin \textcolor{red}{\Sigma} \end{cases} \\ \ [H_\alpha,H_{-\alpha}]^a&= C^i_{\ \ \alpha,-\alpha}(K_i)^a\end{aligned}\\ \boxed{\alpha=\chi^i\alpha_i} \]这样，我们就可以把
\(\alpha_i,\quad i=1,\dots,l\)
看作是
\(l\)
维零根空间的一个矢量的分量，
\(\chi^i\)
则可以看成这个矢量空间的基，这样就把一个作为实数的根看成是一个矢量，称为根矢量。不妨用
\(\textcolor{red}{\Sigma}\)
表示所有根矢量的集合。
可完整写出这个标准形式下的李代数结构常数
\[ \boxed{\begin{aligned}C^\tau_{\ \ ij}&=0\\ C^\tau_{\ \ i\alpha}&=\alpha_i\delta^\tau_{\ \ \alpha}\\ \ C^\tau_{\ \ \alpha\beta}&=\begin{cases} h_{\alpha\beta}\delta^\tau_{\ \ \alpha+\beta} &\text{if } \alpha+\beta \in \Sigma\verb|\| \{0\} \\ 0 &\text{if } \alpha+\beta \notin \Sigma \end{cases} \\ \ C^\tau_{\ \ \alpha,-\alpha}&=待定 \end{aligned}} \]标准形式下本征根的对称性
通过反证法，并利用上面的关系取 \(\beta=-\alpha\) ，不难证明下面这个定理
一个半单李代数，若 \(\alpha\) 是非零实根，那么 \((-\alpha)\) 也一定是它的根。
标准形式的归一化
标准型的所有独立本征基底可记作 \(\left\{(K_i)^a,(H_{\alpha})^a\right\}\) ，根据这一基底下的结构常数，可算出半单李代数的嘉当度规分量 \(\kappa_{\mu\upsilon}\)
\[ \begin{aligned}\kappa_{\mu\upsilon}&=C^\rho_{\ \ \mu\sigma}C^\sigma_{\ \ \upsilon\rho}\\ &= C^i_{\ \ \mu j}C^j_{\ \ \upsilon i}+C^\alpha_{\ \ \mu j}C^j_{\ \ \upsilon\alpha}+C^i_{\ \ \mu\beta}C^\beta_{\ \ \upsilon i}+C^\alpha_{\ \ \mu\beta}C^\beta_{\ \ \upsilon\alpha} \end{aligned} \]这里对指标作个约定（前面事实上已经用了这个约定）：用 \(i,j,k\) 表示0根基底对应的指标， \(\alpha,\beta,\gamma\) 表示非0根，并且用根本身作为基底对应的指标。
零根空间上的嘉当度规分量
\[ \kappa_{ij}=C^\alpha_{\ \ i\beta}C^\beta_{\ \ j\alpha}=\sum_\alpha {C^\alpha_{\ \ i\textcolor{blue}{\alpha}}C^\textcolor{blue}{\alpha}_{\ \ j\alpha}}=\sum_\alpha {\alpha_i\alpha_j}\\ \textcolor{red}{注意：\beta改成\alpha是因为其它可能为0\quad 改用求和号避免混淆} \]零根基底和非零根基底对应的嘉当度规分量
\[ \kappa_{k\gamma}= C^i_{\ \ k\beta}C^\beta_{\ \ \gamma i}+C^\alpha_{\ \ k\beta}C^\beta_{\ \ \gamma\alpha}= -\alpha_i\alpha_k\delta^i_{\ \ \gamma}+\alpha_k h_{\gamma\alpha}\delta^\alpha_{\ \ \alpha+\gamma}=0 \]非零根基底间的嘉当度规分量
\[ \begin{aligned}\kappa_{\gamma\zeta}&= C^i_{\ \ \gamma j}C^j_{\ \ \zeta i}+C^\alpha_{\ \ \gamma j}C^j_{\ \ \zeta\alpha}+C^i_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ \zeta i}+C^\alpha_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ \zeta\alpha}\\ &= C^i_{\ \ j\gamma}C^j_{\ \ i\zeta}-C^\alpha_{\ \ j\gamma}C^j_{\ \ \zeta\alpha}-C^i_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ i\zeta}+C^\alpha_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ \zeta\alpha}\\ &= \alpha_i\alpha_j\delta^i_{\ \gamma}\delta^j_{\ \zeta}-\alpha_j h_{\zeta\alpha}\delta^\alpha_{\ \ \gamma}\delta^j_{\ \ \alpha+\zeta}-\alpha_i h_{\gamma\beta}\delta^\beta_{\ \ \zeta}\delta^i_{\ \ \gamma+\beta}+C^\alpha_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ \zeta\alpha}\\ &= C^\alpha_{\ \ \gamma\beta}C^\beta_{\ \ \zeta\alpha}=h_{\gamma\beta}h_{\zeta\alpha}\delta^\alpha_{\ \ \gamma+\beta}\delta^\beta_{\ \ \zeta+\alpha}\\ &=\sum_{\alpha=\gamma+\beta,\quad \beta=\zeta+\alpha}{h_{\gamma\beta}h_{\zeta\alpha}}=\sum_{\alpha=\gamma+\beta,\quad \zeta=-\gamma}{ h_{\gamma\beta}h_{\zeta\alpha}}\\ &= \boxed{\begin{cases} \sum\limits_{\beta}{ h_{\gamma\beta}h_{-\gamma,(\gamma+\beta)}} &\text{if } \zeta= -\gamma \\ 0 &\text{if } \zeta\ne -\gamma \end{cases}}\end{aligned} \]由此可见，在标准形式下的嘉当度规分量，大部分为0。当然嘉度规分量的大小取决于本征基底 \(\left\{(K_i)^a,(H_{\alpha})^a\right\}\) 的选择。因此，通过适当选取本征基底的大小，一定可以使嘉当度规所有的非0分量归一。在这种归一化基底下，嘉当度规必定有如下形式。
\[ \kappa_{\mu\upsilon}=\begin{array}{cc} & \begin{array}{cc} & & & \alpha & -\alpha & & \dots & & &\beta & -\beta \\ & & & \downarrow & \downarrow & & \dots & & & \downarrow & \downarrow \end{array} \\ \begin{array}{cc} \\ \alpha & \rightarrow \\ -\alpha & \rightarrow \\ \vdots \\ \beta & \rightarrow \\ -\beta & \rightarrow \end{array} & \left(\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c} \{\kappa_{ij}\} & \boldsymbol{0} \\ \hline \boldsymbol{0} & \begin{array}{cc}0 & \ 1 \ & 0 & \dots & 0 & 0 & \ 0 \ \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{array}\right) \end{array} \]现在关注零根空间的度规，由于
\[ \det\{\kappa_{\mu\upsilon}\}\ne0 \Longrightarrow \det\{\kappa_{ij}\}\ne0 \]所以可以引入零根空间的逆度规 \(\{\kappa^{ij}\}\) ，进而
\[ \begin{aligned}h^i_{\ \alpha,-\alpha}&=C^i_{\ \alpha,-\alpha}=\kappa^{ik}C_{k,\alpha,-\alpha}\\&=\kappa^{ik}C_{-\alpha,k,\alpha}=\kappa^{ik}\kappa_{\alpha,-\beta}C^{\beta}_{\ \ k,\alpha}\\&=\kappa^{ik}\kappa_{\alpha,-\alpha}C^{\alpha}_{\ \ k,\alpha}=\kappa^{ik}C^{\alpha}_{\ \ k,\alpha}\quad \textcolor{red}{因为标准化}\\ &= \kappa^{ik}\alpha_k= \alpha^i \quad \textcolor{red}{上行两重复指标\alpha不是求和}\end{aligned} \]这说明
\[ [H_\alpha,H_{-\alpha}]^a=\alpha^i(K_i)^a \]小结
李代数标准形式的可总结如下：
\[ \boxed{\begin{aligned}\ [K_i,K_j]^a&=0\\ \ [K_i,H_\alpha]^a&= \alpha_i (H_\alpha)^a\\ \ [H_\alpha,H_\beta]^a&=\begin{cases} h_{\alpha\beta}(H_{\alpha+\beta})^a &\text{if } \alpha+\beta \in \Sigma\verb|\| \{0\} \\ 0 &\text{if } \alpha+\beta \notin \Sigma \end{cases}\\ \ [H_\alpha,H_{-\alpha}]^a&= \alpha^i(K_i)^a\end{aligned}} \]今后，称这组基为李代数
\(\mathscr{G}\)
的标准基，有时也称为嘉当-外尔基。
常数 \(h_{\alpha\beta}\) 可以有一定的选择自由度，一种选择是使基反称
\[ \boxed{h_{\alpha\beta}=-h_{\beta\alpha}=h_{-\alpha,-\beta}=-h_{-\beta,-\alpha}} \]\(\mathrm{span}\{(K_i)^a\}\) 构成了李代数 \(\mathscr{G}\) 的最大阿贝尔子代数。
一个半单李代数的结构由一组根向量决定。
根系的一些性质
所谓根系，就是半单李代数标准形式下的所有本征根，有时简称“根”。如果没有加粗，表示实数根
\(\alpha\)
；如果加粗了，表示根矢量
\(\boldsymbol{\alpha}\)
。
如果 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\boldsymbol{\beta}\) 是根，那么 \(2\dfrac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\) 必然是一个整数，并且 \(\boldsymbol{\beta}-2\dfrac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\) 也是一个根。
如果 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是根，那么， \(\boldsymbol{\beta}=k \boldsymbol{\alpha}\) 也是根，仅当 \(k=0,\pm 1\) 时。
包含 \(\boldsymbol{\beta}\) 的 \(\boldsymbol{\alpha}\) 根链： \(\dots,\boldsymbol{\beta}+2\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}-2\boldsymbol{\alpha},\dots\) ，最多只可能有四个根，即： \(2\dfrac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\) 。
根矢量图示法
根系的性质中，其中最让人侧目的是
\[ \boxed{2\frac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\in \mathbb{Z}} \]若令
\[ \cos\varphi=\frac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{|\boldsymbol{\alpha}||\boldsymbol{\beta}|} \]则
\[ \begin{aligned}\cos^2\varphi&=\frac{1}{4}\left(2\frac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}}\right)\left(2\frac{\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}\right)\\ &=\boxed{0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1}\end{aligned} \]由于“若 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是根矢量，那么 \(-\boldsymbol{\alpha}\) 也是根矢量”，那么只需考虑5种情况。
\[ \boxed{\varphi=0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ} \]这5种情况的根矢量关系：
\[ \boxed{\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c:c} \varphi=0^\circ & \varphi=30^\circ & \varphi=45^\circ & \varphi=60^\circ & \varphi=90^\circ \\ \hline 全同 & 长\sqrt{3}倍比 & 长\sqrt{2}倍比 & 等长 & 垂直 \\ \hdashline \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta} & \dfrac{|\boldsymbol{\alpha}|}{|\boldsymbol{\beta}|}=\sqrt{3},\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{|\boldsymbol{\alpha}|}{|\boldsymbol{\beta}|}=\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}} & |\boldsymbol{\alpha}|=|\boldsymbol{\beta}| & \boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}=0\end{array}} \]1秩和2秩李代数图示
根据根矢量关系，下面这个根矢量图是很明显的。【Dynkin图见下一篇笔记】
本篇的主题是半单李代数的标准形式，关于根系的性质点到为止。