子流形和超曲面

2020-01-21

| 微分几何 | | 流形 , 子流形 , 超曲面 , 嵌入 , 法余矢 , 法矢 , 诱导度规 , 投影映射 |

嵌入，就是"足够像"地映射到更高维流形“内部”。这种“内部”区域就是子流形。

超曲面，就是低一维的子流形。

法余矢，就是能够和超曲面矢量基底一起张成"母"流形的一个矢量基底所对应的对偶矢量基底。

法矢，就是存在度规情况下，用度规将法余矢的指标"提升"得到矢量。

诱导度规，就是和"母"流形度规保持"自然一致"的子流形度规。

投影映射，就是诱导度规“下降"一个指标，也是将"母"流形任意矢量投影到子流形切空间的映射。

嵌入映射与嵌入子流形

映射 $\phi:S\to M,\quad \dim S \le \dim M=n$ 称为嵌入，如果：

$\phi:S\to \phi[S](\subset M)$ 是同胚映射；
$\phi_*V_p \to V_{\phi(p)},\quad \forall p\in S$ 是非退化的，即 $\phi_* v^a \Rightarrow v^a=0$ 。

利用嵌入映射 $\phi$ ,可以称 $$S$$ 或 $\phi[S]$ 是 $$M$$ (嵌入)子流形。

特别地，如果 $\dim S=n-1$ ，那么称 $$S$$ 或 $\phi[S]$ 是 $$M$$ 的一张超曲面。

超曲面得切平面、法余矢、法矢

设 $\phi[S]$ 是 $$M$$ 的超曲面及上的点 $q\in\phi[S]\subset M$ 。

从 $$M$$ 角度来看，有 $$q$$ 点的 $$n$$ 维切空间 $$V_q$$ 。　从 $\phi[S]$ 角度来看，也有 $$q$$ 点的 $$(n-1)$$ 维切空间 $$W_q$$ 。任意 $w^a\in W_q$ 都是沿 $\phi[S]$ 上的某曲线的切矢，这条曲线同时也是 $$M$$ 上的曲线，所以 $w^a\in V_q$ ，即 $W_q \subset V_q$ 。

非零对偶矢量 $n_a\in V^*_q$ 称为超曲面 $\phi[S]$ 在 $$q$$ 点法余矢，若 $n_a w^a=0,\quad \forall w^a\in W_q$ 。

如果 $$M$$ 上有度规 $g_{ab}$ ，那么 $n^a\overset{\Delta}{=}g^{ab}n_a\in V_q$ 与 $\phi[S]$ 的所有矢量正交。因为, $g_{ab}n^a w^a=n_a w^a=0,\quad \forall w^a\in W_q$ 所以可称 $$n^a$$ 为超曲面 $\phi[S]$ 在 $$p$$ 点的法矢。

超曲面单位法余矢的唯一性

我们知道 $$W_q$$ 可由最大线性无关基底 $\{(e_2)^a,\dots,(e_n)^a\}$ 张成，自然也可选作 $$V_q$$ 的 $$(n-1)$$ 个线性无关基底，必然可从 $$V_q$$ 选出与这 $$(n-1)$$ 都线性无关的元素，记做 $$(e_1)^a$$ 。于是 $$V_q$$ 可由最大线性无关基底 $\{(e_\mu)^a|\mu=1,\dots,n\}$ 张成，进而有一组对偶基底 $\{(e^\mu)_a\}$ 。可取 $$n_a=(e^1)_a$$ ，有 $n_a(e_\tau)^a=\delta^1_{\ \tau}=0,\quad \tau=2,\dots,n$ ，因此这个 $$n_a$$ 就是法余矢。若 $m_a\ne n_a$ 也是法余矢，那么 $m_\tau =m_a(e_\tau)^a=0(\tau=2,\dots)$ ，进而 $$m_a=m_1(e^1)_a=m_1 n_a$$ 。

所以，超曲面 $\phi[S]$ 上任意点 $$q$$ 必有法余矢，唯一到相差常数因子。　但对一般的嵌入子流形(比如三维流形中的曲线)的法余矢没有这样的唯一性。

标量场梯度是对应等值超曲面的法余矢

考虑 $\phi[S]$ 是由 $f=const. \quad f\in \mathscr{F}_M$ 给出的超平面。对任意 $w^a\in V_q$ ， $$w^a$$ 总切于超曲面 $\phi[S]$ 上的某条曲线 $$C(t)$$ ，于是： $w^a (\nabla_a f)=w^a \partial_a f=0$ 着意味着 $\nabla_a f$ 的确是 $\phi[S]$ 的法余矢。

超曲面的分类

对黎曼流形而言，给定的度规是正定的，必然有 $n^a n_b=g_{ab}n^a n^b > 0$ 。但对非正定度规的伪黎曼流形而言， $$n^a n_b$$ 正负零都可能。

法矢处处类时（ $$n^a n_b<0$$ ）的超曲面是类空的；法矢处处类空（ $$n^a n_b>0$$ ）的超曲面是类时的；法矢处处类光（ $$n^a n_b=0$$ ）的超曲面也是类光的。

所以黎曼流形中的超平面都是类时的，对应的法矢是类空的。

类光超曲面的法矢就躺在超曲面切空间上，即 $n^a\in W_q \Leftrightarrow n^a n_b=0$ 。

对类空和类时的超平面的而言，今后谈法矢时都特指归一化法矢,即 $n^a n_a=\pm 1$ 。

子流形诱导度规、投影映射

所谓 $\phi[S]\subset M$ 诱导度规 $h_{ab}$ 就是将 $$M$$ 上的度规 $g_{ab}$ 作用对象限制在 $\phi[S]$ 的切平面 $$W_q$$ 上的结果。　也就是说： $h_{ab} u^a w^a=g_{ab}u^a w^a,\quad \forall u^a,w^a\in W_q$ 注意 $$n_a n_b u^a w^a=(n_a u^a)(n_b w^a)=0$$ ，所以一个合理猜测，并做变换： $\begin{aligned}&h_{ab}=g_{ab}-\lambda n_a n_b\\ \Leftrightarrow \quad & h^a_{\ b}=g^{ac}h_{cb}=\delta^a_{\ b}-\lambda n^a n_b\\ \Leftrightarrow \quad & h^a_{\ b}v^b=v^a-\lambda n^a (n_b v^b)\quad \forall v^a\in V_q\\ \Leftrightarrow \quad & v^a=h^a_{\ b}v^b+n^a (\lambda n_b v^b)\end{aligned}$

很明显，最后一个式子似乎代表矢量 $v^a\in V_q$ 的某种分解。我们更希望这是一种正交分解，就是希望： $\begin{aligned}0=& n_a(h^a_{\ b}v^b)\\ =& n_a(\delta^a_{\ b}-\lambda n^a n_b)v^b\\ =& n_b v^b-\lambda n^a n_a n_b v^b\\ =& (1-\lambda n^a n_a )n_b v^b \quad \forall v^b\in V_q\end{aligned}$ 考虑到 $$v^b$$ 选择的任意性以及 $$n^a$$ 默认是归一化法矢，于是有 $\lambda=\pm1$ 。根据上述分析，可直接写出下面的两个结论：

诱导度规可表示成： $h_{ab}=g_{ab}\mp n_a n_b,\quad \text{加减号与}n^a n_a\text{的符号相反}$
任意矢量 $v^a\in V_q$ 可进行正交分解： $v^a=h^a_{\ b}v^b\pm n^a (n_b v^b),\quad \text{加减号与}n^a n_a\text{的符号一致}$ 其中， $v^a_{\parallel}\overset{\Delta}{=}h^a_{\ b} v^b\in W_q$ 称为 $$v^a$$ 在 $\phi[S]$ 切向分量， $h^a_{\ b}:V_q\to W_q$ 则是投影映射。 $v^a_{\perp}\overset{\Delta}{=}\pm n^a(n_b v^b)$ 是与法矢 $$n^a$$ 平行的法向分量。