流形上的李导数

2020-01-19

| 微分几何 | | 流形 , 李导数 , 方向导数 , 适配坐标系 |

李导数是沿矢量场对张量场的导数，也是沿矢量场坐标线对张量分量的普通导数。

为了清晰定义李导数，引入了单参数微分同胚群 $\phi:\mathbb{R}\times M\to M$ ，然后利用拉回映射及其逆映射 $\phi_t^*=(\phi^{-1}_t)_*=(\phi_{-t})_*$ 将同一轨道上的 $q=\phi(p)$ 点上的张量拉回成点 $$p$$ 的张量，于是可以进行相加减，进而可以合理定义极限。

引入矢量场的适配坐标系，得到李导数在适配坐标系中的分量表达式。

然后，有李导数作用到任意张量的一般表达式。

最后，分析了李导数和方向导数的关系

单参微分同胚群

可以考虑流形 $$M$$ 到其自身的微分同胚映射 $\phi:M\to M$ ，这个映射可以有两种理解：１）主动观点，此时流形 $$M$$ "不动"，只是将内部一个点变换到另一个点，这是点变换，；２）被动观点，由于第二个 $$M$$ 相对第一个 $$M$$ 发生了某种意义上的"转动"，导致固定在第二个 $$M$$ 上点的局域坐标系相对第一个 $$M$$ 上的局域坐标系发生了变换，这是坐标变换。

如果我们只关注被动观点的“转动”（虽然它导致了坐标变换），这里打引号，只是借用“圆球转动”形象说明而已。为了更准确描述这个"转动"过程，需要引入一个参数 $t\in\mathbb{R}$ ，进而引入单参数微分同胚群 $\phi:\mathbb{R}\times M \to M$ ，满足：

$\phi_t$ 是微分同胚映射： $\phi_t:M\to M, \quad \forall t\in \mathbb{R}$ ；
单参"转动"抽象化： $\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s},\quad \forall t,s\in \mathbb{R}$ 。

同时注意集合 $\{\phi_t|t\in \mathbb{R}\}$ 是以复合映射为乘法的群，所以命名为"单参微分同胚群”。

对任意一点 $p\in M$ ，在 $\phi$ 的作用下(满足 $\phi_p(0)=\phi_0|_p=p$ ), $\phi_p(t),\forall t\in \mathbb{R}$ 构成一个过 $$p$$ 点的光滑曲线，称之为 $\phi$ 过 $$p$$ 点的轨道。这个轨道在点 $\phi_p(0)$ 必然有切矢 $$v^a|_p$$ ，于是得到上的一个光滑矢量场 $v^a\in\mathscr{F}_M(1,0)$ 。这意味着：M上的一个单参数微分同胚群给出了M上的一个光滑矢量场。

另一方面，如果给定一个光滑矢量场 $v^a\in\mathscr{F}_M(1,0)$ ，对任意一个点 $p\in M$ ，我们都可以得到过 $$p$$ 的积分曲线 $$C(t),C(0)=p$$ ，进而可以定义 $\phi_p(t)=C(t),\forall t\in\mathbb{R},p\in M$ ，这就是一个单参数微分同胚局域群（考虑到微分的局域性，所以加入"局域"限定）。　所以有结论：M上的一个光滑矢量场给出了M上的一个单参数微分同胚局域群。

李导数

对于 $$M$$ 上给定的一个单参微分同胚群 $\phi$ 中的群元 $\phi_t:M\to M$ ，可看成流形间的映射，再考虑微分同胚性，那么可以对流形上的任意张量场 $$T$$ 进行拉回 $\phi_t^*T$ 和推前 $\phi_{t*}T$ 的操作。

考虑矢量场 $v^a\in \mathscr{F}_M(1,0)$ 是由单参数微分同胚群 $\phi:\mathbb{R}\times M \to M$ 确定的，一般而言，我们无法对 $\phi_t(T)$ 和 $T=\phi_0(T)$ 进行比较，因为这两个张量场的每对张量都对应不同点 $$p$$ 和 $\phi_t(p)$ ，即 $\left.\phi_t(T)\right|_{\phi_t(p)}$ 和 $$T|_p$$ 。但可利用 $\phi_t^*$ 把 $\left.\phi_t(T)\right|_{\phi_t(p)}$ 拉回成 $$p$$ 点的张量 $\left.\phi_t^*(T)\right|_p\overset{\Delta}{=}\left.\phi^*[\phi_t(T)]\right|_p,\quad \forall p\in M$ 。于是可以定义某种导数： $\mathscr{L}_v T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}\overset{\Delta}{=}\lim_{t\to 0}{\left[\frac{1}{t}\left(\phi_t^* T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}-T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}\right)\right]}$ 称之为 $T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}$ 沿矢量场 $$v^a$$ 的李导数。

李导数在适配坐标系分量

由于李导数 $\mathscr{L}_v$ 是沿矢量场 $$v^a$$ 定义的，我们就选 $$v^a$$ 对应的积分曲线为 $$x^1$$ 坐标线, 其它坐标线需要保持沿 $$x^1$$ 平移即可，就得到一个矢量场 $$v^a$$ 的适配坐标系，在这种坐标系中 $v^a=(\partial/\partial x^1)^a$ 。

根据微分同胚映射的主被动观点的等价性，可写出： $\left.(\phi^* T)^{\mu}_{\ \upsilon}\right|_p=\left.(\phi_{-t*}T)^{\mu}_{\ \upsilon}\right|_{\phi_{-t}(q)}=\left.T'^{\mu}_{\ \ \upsilon}\right|_q=\left[\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\rho}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\upsilon}T^\rho_{\ \ \sigma}\right]_q,\quad q=\phi(p)$ 由于选择了 $$v^a$$ 适配坐标系，那么坐标系的变换只涉及 $$x^1$$ 坐标线，那么必然有： $\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\rho}=\delta^\mu_{\ \ \rho}\quad \frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\upsilon}=\delta^\sigma_{\ \ \upsilon}$ 于是： $\left.(\phi^* T)^{\mu}_{\ \upsilon}\right|_p=\left.T^\mu_{\ \ \upsilon}\right|_q,\quad q=\phi(p)$

最后有：

\begin{aligned}\left.(\mathscr{L}_v T)^{\mu}_{\ \ \upsilon}\right|_p&=& &\lim_{t\to 0}{\left[\frac{1}{t}\left(\left.(\phi^* T)^{\mu}_{\ \upsilon}\right|_p-\left.T^{\mu}_{\ \ \upsilon}\right|_p\right)\right]} \\ &=& &\lim_{t\to 0}{\left[\frac{1}{t}\left(\left.T^\mu_{\ \ \upsilon}\right|_q-\left.T^{\mu}_{\ \ \upsilon}\right|_p\right)\right]} \\ &=& &\frac{\partial}{\partial x^1}{T^{\mu}_{\ \ \upsilon}}\end{aligned}

所以，一般而言， $T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}$ 沿矢量场 $$v^a$$ 的李导数在 $$v^a$$ 适配坐标系中的分量可写成： $(\mathscr{L}_v T)^{\mu_1\dots \mu_k}_{\ \qquad \upsilon_1\dots \upsilon_l}=\frac{\partial}{\partial x^1}{T^{\mu_1\dots \mu_k}_{\ \qquad \upsilon_1\dots \upsilon_l}}$

李导数的表达式

李导数是线性映射： $\mathscr{L}_v:\mathscr{F}_M(k,l)\to\mathscr{F}_M(k,l)$ ；
李导数同缩并可交换次序；
$\mathscr{L}_v f=v(f), \quad \forall f\in \mathscr{F}_M$ ；
$\mathscr{L}_v u^a=[v,u]^a=v^b\nabla_b u^a-u^b\nabla_b v^a,\quad \forall u^a,v^a\in \mathscr{F}_M(1,0)$ ；
$\mathscr{L}_v \omega_a=v^b\nabla_b\omega_a+\omega_b\nabla_a v^b,\quad \forall v^a\in \mathscr{F}_M(1,0),\omega_a\in \mathscr{F}_M(0,1)$ ；
更一般有： $\mathscr{L}_v T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots b_l}=v^c \nabla_c T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots b_l}-\sum_{i=1}^k{T^{a_1\dots c \dots a_k}_{\ \ \quad \qquad b_1\dots b_l}\nabla_c v^{a_i}}\\ +\sum_{j=1}^l{T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots c \dots b_l}\nabla_{b_j} v^c}\\,\quad \forall v^a\in \mathscr{F}_M(1,0),T\in \mathscr{F}_M(k,l)$

李导数和方向导数的关系

方向导数是对矢量场 $$u^a$$ 沿曲线 $$C(t)$$ 的导数，求导变量则是曲线参数 $$t$$ 。对应则是李导数对矢量场 $$u^a$$ 沿矢量场 $$v^a$$ 的的导数，求导变量则是矢量场 $$v^a$$ 诱导出的单参微分同胚群 $\phi(t)$ 的参数 $$t$$ ，随着 $$t$$ 的变化得到一族积分曲线。

为了能和方向导数比较，可考察特定点 $p\in M$ 上矢量场 $$u^a$$ 沿矢量场 $$v^a$$ 的导数，这样点 $$p$$ 配合矢量场 $$v^a$$ ，可唯一确定局域积分曲线 $$C(t)$$ ，此时 $$v^a$$ 就是这条曲线的切矢。　

如果我们选择一个 $$v^a$$ 适配的坐标系 $\{x^\mu\}$ ，有 $v^a=(\partial/\partial x^1)^a=T^a$ 。那么： $\begin{aligned}&\mathscr{L}_v u^a &=&T^b\nabla_b u^a－u^b\nabla_b \left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)^a　\quad \text{第一项就方向导数}\\ & &=&\frac{D u^a}{dt}－u^b\partial_b \left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)^a-\Gamma^a_{\ \ bc}T^b u^c　\quad \text{第二项展开} \\& &=&\frac{D u^a}{dt}-\Gamma^a_{\ \ bc}T^b u^c　\quad \text{普通导数算符作用于坐标基矢为０}\\& &=&\frac{d u^a}{dt} \quad \forall u^a \in\mathscr{F}_M(1,0)\end{aligned}$ 所以：作用于 $$u^a$$ 李导数看成矢量场 $$v^a$$ 适配坐标系下沿坐标线的普通方向导数 $$du^a/dt$$ 。，而非正真意义上的方向导数 $$Du^a/dt$$ 。