流形间的映射

2020-01-19

| 微分几何 | | 流形 , 推前映射 , 拉回映射 , 延拓 , 微分同胚 |

流形间的点映射 $\phi$ ，可以看作对点的推前映射 $\phi=\phi_*$ ；对张量(场) $$T$$ 的拉回映射 $\phi^*$ ，可看成该张量(场) $$T$$ 与某种推前映射 $\phi_*$ 的复合映射 $\phi^*T=T\circ\phi_*$ ；对张量(场) $$T$$ 的推前映射 $\phi_*$ ，可看成该张量(场) $$T$$ 与某种拉回映射 $\phi^*$ 的复合映射 $\phi_*T=T\circ\phi^*$ 。

考虑两个流形 $$M,N$$ 间的一个光滑映射 $\phi:M \to N$ 。一旦有了流形之间的映射，就可以探讨流形间张量(场)之间的映射。

自然诱导映射的构造套路

这里，我们用构造性的方法来引入 $\phi$ 的自然诱导映射，其中 $$T$$ 代表张量场或张量。

$\phi$ 的所有自然诱导映射，组成集合 $\mathbb{F}_{\phi}$ ，其元素满足：

平凡元素： $\phi \in \mathbb{F}_{\phi}$ ；
构造规则：如果存在 $\varphi\in \mathbb{F}_{\phi}$ ，使得 $$T$$ 与 $T\circ\varphi$ 是同型张量(场)。据此可定义新的映射 $\theta:T\mapsto \theta(T)\overset{\Delta}{=} T\circ\varphi$ ，那么 $\theta \in \mathbb{F}_\phi$ ；
同一认定：如果 $\theta\in \mathbb{F}_\phi$ 是 $\varphi\in \mathbb{F}_\phi$ 的延拓，那么认定 $\theta=\varphi\in \mathbb{F}_\phi$ 。

流形间标量场映射，拉回映射

目前已知： $\phi\in\mathbb{F}_\phi$ ， $\phi$ 是点到点的流形映射。

为了能将标量场 $$f$$ 和 $\phi : M \to N$ 构造出复合映射，只能选择 $f:N \to \mathbb{R}$ ，进而对应复合映射 $f\circ\phi:M \to \mathbb{R}$ 。因为 $f\in\mathscr{F}_N,f\circ\phi\in\mathscr{F}_M$ ，所以得到 $\phi^*\in\mathbb{F}_\phi$ ：

\begin{aligned} &\phi^* :& \mathscr{F}_N &\to \mathscr{F}_M \\ &\quad& f &\mapsto f\circ\phi\\ & & & (\phi^* f)|_p \overset{\Delta}{=} f|_{\phi(p)} \quad \forall p \in M \end{aligned}

这个映射是 $\mathscr{F}_N \to \mathscr{F}_M$ ，和 $\phi$ 的映射 $M\to N$ 方向相反，所以称 $\phi^*$ 为拉回映射。

基本性质

$\phi^* : \mathscr{F}_N \to \mathscr{F}_M$ 是线性映射。
$\phi^*(f g)=\phi^*(f)\phi^*(g),\quad \forall f,g \in \mathscr{F}_N$ 。

流形间矢量映射，推前映射，切映射

目前已知： $\phi,\phi^*\in\mathbb{F}_\phi$ ， $\phi$ 是点到点的流形映射， $\phi^*$ 则是标量场到标量场的拉回映射。

1 流形间矢量场映射？

因为矢量场 $$v^a$$ 是标量场到实数的映射，只能与 $\phi^* : \mathscr{F}_N \to \mathscr{F}_M$ 才可能构成复合映射，并且只能选择 $v^a:\mathscr{F}_M\to\mathbb{R}$ ，进而对应复合映射 $v^a\circ\phi^*:\mathscr{F}_N \to \mathbb{R}$ 。因为 $v^a\in\mathscr{F}_M(1,0),v^a\circ\phi^*\in\mathscr{F}_N(1,0)$ ，所以得到一个可能的自然诱导映射 $\theta$ ：

\begin{aligned} &\theta :& \mathscr{F}_M(1,0) &\to \mathscr{F}_N(1,0) \\ &\quad& v^a &\mapsto v^a\circ\phi^*\\ & & & (\theta v)|_q(f) \overset{\Delta}{=} v|_{\phi^{-1}(q)}(\phi^*f) \quad \forall q \in N, f \in \mathscr{F}_N \end{aligned}

最后一个式子要求流形映射 $\phi$ 是可逆的。但关于 $\phi$ 的约定，这逆像未必存在，所以无法定义关于矢量场的自然诱导映射。

2 矢量的自然诱导映射

退而求其次，选择两个点 $p\in M,\phi(p)\in N$ ，研究切空间 $$V_p$$ 和 $V_{\phi(p)}$ 之间的映射：

\begin{aligned} &\phi_* :& V_p &\to V_{\phi(p)} \\ &\quad& v^a &\mapsto v^a\circ\phi^*\\ & & & (\phi_* v)(f) \overset{\Delta}{=} v(\phi^*f) \quad \forall f \in \mathscr{F}_N \end{aligned}

注意：这个映射是将 $$V_p$$ 映射倒 $V_{\phi(p)}$ ，这和 $\phi$ 的映射方向一致，所以称 $\phi_*$ 为推前映射。此外，这个映射是把切空间的点映射到切空间，所以又称 $\phi_*$ 为切映射。

3 基本性质

$\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}$ 是线性映射；
曲线 $$C(t)$$ 在 $$C(t_0)$$ 点切矢 $$T^a$$ 的像 $\phi_*T^a$ 是曲线像 $\phi(C(t))$ 在 $\phi(C(t_0))$ 点的切矢。

流形间对偶矢量场映射

目前已知： $\phi,\phi^*,\phi_*\in\mathbb{F}_\phi$ ， $\phi$ 是点到点的流形映射， $\phi^*$ 是标量场到标量场的拉回映射， $\phi_*$ 则是切空间到切空间的推前映射。

由于对偶矢量场 $\omega_a$ 是矢量场到实数的映射， $\phi,\phi^*,\phi_*$ 都无法和其复合。但对指定 $p\in M$ 的情况下，是可能与 $\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}$ 进行复合的，此时只能选择 $\omega_a|_{\phi(p)}:V_{\phi(p)\to\mathbb{R}}$ ，构成复合映射 $\omega_a|_p\circ\phi_*:V_p\to\mathbb{R}$ 。

由此可见，对偶矢量场映射具有“拉回”的特点，但毕竟对偶矢量场 $\omega_a$ 与 $\phi_*$ 无法直接复合。所以对 $\phi^*$ 的定义进行延拓，确保对偶矢量场的“拉回”：

$\begin{aligned} &\phi^* :& \mathscr{F}_N(0,1) &\to \mathscr{F}_M(0,1) \\ &\quad& \omega_a &\mapsto \omega_a\circ\phi_*\\ & & & (\phi^* \omega)|_p \overset{\Delta}{=} \omega_a|_{\phi(p)} \quad \forall p \in M\\ & & & (\phi^* \omega)|_p v^a \overset{\Delta}{=} \omega_a|_{\phi(p)} (\phi_*v)^a \quad \forall p \in M, v^a\in V_p \end{aligned}$ 注意：

$\phi$ 本身就可以看成是对流形点的推前映射： $\phi_*(p)=\phi(p)$ 。这也符合前面将 $\phi$ 看出自身的自然诱导映射的要求。
最后一个式子是定义的细化。

拉回映射和推前映射定义的延拓

根据前面矢量推前映射和对偶矢量场拉回映射的定义，可以进行更一般的定义延拓。

拉回映射的延拓

\begin{aligned} &\phi^* : &\mathscr{F}_N(0,l) &\to \mathscr{F}_M(0,l) \\ &\quad& T_{a_1\dots a_l} &\mapsto T_{a_1\dots a_l}\circ\phi_*\\ & & & (\phi^* T)_{a_1\dots a_l}|_p \overset{\Delta}{=} T_{a_1\dots a_l}|_{\phi(p)} \quad \forall p \in M\\ & & & (\phi^* T)_{a_1\dots a_l}|_p (v_1)^{a_1}\dots(v_l)^{a_l} \overset{\Delta}{=} T_{a_1\dots a_l}|_{\phi(p)} (\phi_*v_1)^{a_1}\dots(\phi_*v_l)^{a_l} \\ & & & \quad \forall p \in M, (v_1)^{a_1},\dots, (v_l)^{a_l}\in V_p \end{aligned}

推前映射的延拓

为了方便延拓，先把矢量推前映射，改写成等价形式：

\begin{aligned} &\phi_* :& V_p &\to V_{\phi(p)} \\ &\quad& v^a &\mapsto v^a\circ\phi^*\\ & & & (\phi_* v)^a\omega_a \overset{\Delta}{=} v^a(\phi^*\omega)_a \quad \forall \omega \in \mathscr{F}_N(0,1) \end{aligned}

因为 $\forall\omega_a\in \mathscr{F}_M(0,1),\exists f\in\mathscr{F}_M,(df)_a=\omega_a$ ，所以 $v(f)=(df)_av^a=v^a\omega_a$ 。也就是说：矢量既可以看成是标量场到实数的映射，也可以看成是对偶矢量到实数的映射。

于是有推前映射的延拓定义：

\begin{aligned} &\phi_* :& \mathscr{T}_{V_p}(k,0) &\to \mathscr{T}_{V_{\phi(p)}}(k,0),\quad p\in M \\ &\quad& T^{a_1\dots a_k} &\mapsto T^{a_1\dots a_k}\circ\phi^*\\ & & & (\phi_* T)^{a_1\dots a_k}(\omega^1)_{a_1}\dots(\omega^k)_{a_k} \overset{\Delta}{=} T^{a_1\dots a_k}(\phi^*\omega^1)_{a_1}\dots(\phi^*\omega^k)_{a_k}\\ & & & \quad \forall \omega^1\dots \omega^k \in V^*_{\phi(p)} \end{aligned}

微分同胚下的拉回和推前映射

如果 $\phi:M\to N$ 是微分同胚映射，那么推前映射 $\phi_*$ 也可以把 $$(k,0)$$ 张量场推前为 $$(k,0)$$ 张量场： $\phi_*:\mathscr{F}_M(k,0)\to\mathscr{F}_N(k,0)$ 此外，由于 $\phi^{-1}$ 存在且光滑，那么也可以对 $$(0,l)$$ 型张量场进行推前映射： $\phi_*=(\phi^{-1})^*:\mathscr{F}_M(0,l)\to \mathscr{F}_N(0,l)$ 进一步，可以对 $$(k,l)$$ 型张量场进行推前映射： $\phi_*:\mathscr{F}_M(k,l)\to \mathscr{F}_N(k,l)$ 比如， $(\phi_*T)^a_{\ \ b}|_q\omega_a v^b\overset{\Delta}{=}T^a_{\ \ b}|_{\phi^{-1}(q)}(\phi^*\omega)_a(\phi^*v)^b,\quad \forall q\in N,\omega_a\in V^*_q,v^b\in V_q$

同理，拉回映射也可以推广到 $$(k,l)$$ 型张量场： $\phi^*:\mathscr{F}_N(k,l)\to \mathscr{F}_M(k,l)$ 比如， $(\phi^*T)^a_{\ \ b}|_p\omega_a v^b\overset{\Delta}{=}T^a_{\ \ b}|_{\phi(p)}(\phi_*\omega)_a(\phi_*v)^b,\quad \forall p\in M,\omega_a\in V^*_p,v^b\in V_p$

微分同胚映射的主动和被动观点

当初给微分流形下定义时，就是借助微分同胚映射定义的，区别是当初是用局域微分同胚 $O\to V,\quad O\subset M, V\subset\mathbb{R}^n$ 的概念，而我们这里是全局微分同胚 $M\to N$ 。

当初借助两个局域微分同胚定义两个坐标系，进而之间存在坐标变换。现在，也能引入两个微分同胚映射：第一个借用 $\mathbb{R}^n$ ： $O_1\to V,\quad O_1\subset M, V\subset\mathbb{R}^n$ ，第二个则直接借用 $$N$$ ：是 $\phi^{-1}[O_2]\to O_2,\quad \phi^{-1}[O_2]\subset M,O_2\subset N$ 。这就引入了下面提及的被动观点。

微分同胚映射的主动观点，自然就是点到点的变换 $p\mapsto \phi(p)$ 及其导致的张量变换 $T\mapsto \phi_*T$ 。

微分同胚映射的被动观点，就是将映射 $\phi:M\to N$ 看成一个新的局域坐标系，进而和局域老坐标系存在变换关系，完全可以套用当初普通坐标变换的做法。

将 $O_1\subset M$ 对应的"老"坐标系记作 $\{x^\mu\}$ ，将 $O_2\subset N$ 对应的坐标系记作 $\{y^\mu\}$ ，进而可将 $\phi^{-1}[O_2] \subset M$ 对应的新坐标记作 $\{x'^\mu\}，x'^\mu(q)\overset{\Delta}{=}y^\mu(\phi(q))\quad \forall q\in \phi^{-1}[O_2]$ 。

微分同胚映射的主动观点和被动观点的等价性，体现在下面的关系： $\left.(\phi_*T)^{\mu_1\dots\mu_k}_{\ \qquad \upsilon_1\dots\upsilon_l}\right|_{\phi(p)}=\left.T'^{\mu_1\dots\mu_k}_{\ \qquad \upsilon_1\dots\upsilon_l}\right|_p,\quad \forall T\in \mathscr{F}_M(k,l)$

几个有用的性质

如果 $\phi:M\to N$ 是光滑映射，那么： $\phi^*(T_{a_1\dots a_l}S_{b_1\dots b_{l'}})=\phi^*(T_{a_1\dots a_l})\phi^*(S_{b_1\dots b_{l'}})\\ \phi_*(T^{a_1\dots a_k}S^{b_1\dots b_{k'}})=\phi_*(T^{a_1\dots a_k})\phi_*(S^{b_1\dots b_{k'}})$ 如果 $\phi:M\to N$ 是同胚映射，那么： $\phi_*(T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots b_l}S^{c_1\dots c_{k'}}_{\ \qquad d_1\dots d_{l'}})=\phi_*(T^{a_1\dots a_l}_{\ \qquad b_1\dots b_l})\phi_*(S^{c_1\dots c_{k'}}_{\ \qquad d_1\dots d_{l'}})$ 如果 $\phi:M\to N$ 是同胚映射，那么 $\phi_*$ ( $\phi^*$ )与缩并可交换次序。