第五章 残差风险和残差收益率：信息率
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阿尔法
向未来看（先验），阿尔法是对残差收益率的预测；向过去看（后验），阿尔法是实现的残差收益率的均值。
阿尔法和贝塔都源自线性回归模型（见第2章笔记：超额收益率分解）。
本章专注阿尔法的预测；第１２章将评估阿尔法预测的质量；第１７章考虑实现的阿尔法。
向未来看时，阿尔法是对残差收益率的预测：
\[ \boldsymbol{\alpha} = \mathrm{E} \boldsymbol{\theta} \]组合P的阿尔法（即组合P对阿尔法的暴露度）：
\[ \alpha_P = \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{h}_P \]业绩基准组合的阿尔法必然等于零，这也就要求阿尔法向量必须满足这个约束： \(\alpha_B=0\) 。
无风险组合F（可用现金代称）的阿尔法也必然等于零，这意味着任何由业绩基准和现金构成的投资组合的阿尔法也必然等于零。
阿尔法特征组合A
阿尔法向量的特征组合A将尽可能有效地发掘阿尔法向量中的信息。我们在第２章已经掌握了阿尔法向量及其特征组合Ａ的相关结论：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{h}_A = \dfrac{\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\alpha}} & 组合Ａ的头寸 \\ \boldsymbol{\alpha}^T h_A = \alpha_A = 1 & 组合Ａ具有单位阿尔法暴露度\\ \sigma_A^2 = \boldsymbol{h}_A^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{h}_A = \dfrac{1}{\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\alpha}} & 组合Ａ的方差 \\ \boldsymbol{\alpha} = \dfrac{\boldsymbol{V} \boldsymbol{h}_A}{\sigma_A^2} & 用组合Ａ对应的阿尔法向量 \end{aligned} \]信息率
组合P的信息率 \(\mathrm{IR}_P\) ：
\[ \mathrm{IR}_P = \left\{ \begin{aligned} \frac{\alpha_P}{\omega_P} , \quad & \omega_P > 0 \\ 0, \quad & \omega_P = 0 \end{aligned} \right. \](最大)信息率 \(\mathrm{IR}\) ：
\[ \mathrm{IR} = \underset{P}{\max} \ \mathrm{IR}_P \]我们注意到，信息率和夏普率的概念很相似。前者关注残差收益率，而后者关注组合的预期超额收益率。
与求最大夏普率的套路类似：有一组解(非唯一解)，特别地，这里求单位阿尔法值( \(\alpha_P=1\) )的最小残差风险的组合解，必然对应最大信息率。而最小残差风险对应最小风险（需要后续证明），所以组合A恰好具有最高信息率。
组合Ａ的性质：
１）组合Ａ的贝塔值为0（即，组合Ａ具有零贝塔暴露度）。因此组合Ａ通常同时具有多空头寸。
【提示】因为业绩基准收益率和残差收益不相关，进而 \(0=\sigma_{AB} = \beta_A \sigma_B^2 = \alpha_B \sigma_A^2\) 。
２）组合Ａ具有最高的信息率： \(\mathrm{IR}= \mathrm{IR}_A = \sqrt{\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\alpha}}\ge \mathrm{IR}_P, \forall P\) 。
【提示】和"组合q具有最高夏普率"的论证本质一样。
３）组合Ａ的总风险和残差风险都等于信息率的倒数： \(\sigma_A = \omega_A = \dfrac{1}{\mathrm{IR}}\) 。
４）形如 \(\boldsymbol{h}_P = \beta_P \boldsymbol{h}_B + \alpha_P \boldsymbol{h}_A, \quad \alpha_P>0\) 的组合P都具有最高信息率。
【提示】也和"组合q具有最高夏普率"的论证本质一样。
５）组合Ｑ也可表示成： \(\boldsymbol{h}_Q = \beta_Q \boldsymbol{h}_B + \alpha_Q \boldsymbol{h}_A,\quad \beta_Q= \dfrac{f_B \sigma_Q^2}{f_Q \sigma_B^2},\quad \alpha_Q=\dfrac{\sigma_Q^2}{f_Q \omega_A^2}\) 。因此组合Q和组合A的信息率相同。
【提示】仅用第２章技术附录中的一系列关系易证。
６）组合A在风险资产中的总持仓权重为： \(e_A=\dfrac{\alpha_C \omega_A^2}{\sigma_C^2}\) 。
【提示】 \(\sigma_{CA}=e_A \sigma_C^2=\alpha_C \sigma_A^2=\alpha_C \omega_A^2\)
７）任意组合P的信息率： \(\mathrm{IR}_P=\mathrm{IR}_Q \mathrm{Corr}\{\theta_P,\theta_Q\}\) 。
【提示】组合A具有零贝塔值；组合A和组合Q的残差收益率完全相关。
８）最高信息率和最高夏普率的关系： \(\mathrm{IR}=\dfrac{\alpha_Q}{\omega_Q}=\mathrm{SR} \dfrac{\omega_Q}{\sigma_Q}\) 。
【提示】用到：性质5；组合Q既是最高夏普率组合 \(\mathrm{SR}=\dfrac{f_Q}{\sigma_Q}\) ，组合Q也是最高信息率组合 \(\mathrm{IR}=\dfrac{\alpha_Q}{\omega_Q}\) ；组合A也是最高信息率组合 \(\mathrm{IR}=\dfrac{1}{\omega_A}\) ； \(\omega_Q=\alpha_Q \omega_A\) 。
９）阿尔法可表示为： \(\boldsymbol{\alpha}=\mathrm{IR} \dfrac{\boldsymbol{V} \boldsymbol{h}_A}{\omega_A}=\mathrm{IR} \ \boldsymbol{M\!C\!R\!R}_Q\) 。此性质将资产的阿尔法值与该资产的残差风险边际贡献直接关联起来，关联系数正是信息率。
【提示】用到：相关定义；特征组合A及其对应属性 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的关系。
１０）业绩基准的夏普率与最高夏普率和最高信息率之间的关系： \(\mathrm{SR}_B^2 = \mathrm{SR}^2-\mathrm{IR}^2\) 。
【提示】先推导出 \(\mathrm{SR}^2=\boldsymbol{f}^T \boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{f}\) ，然后带入 \(\boldsymbol{f}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \ f_B\) 。
先验信息率：对机会的衡量
上一节关于信息率的定义是先验的。
如果向未来看，组合信息率就是每承担一个单位年化残差风险所能获得的预期年化残差收益率（假设信息被有效利用）。而最大信息率则是投资经理能够获得的年化残差收益率与残差风险的比率。
和夏普率的性质类似：相同的信息率，可能具有不同的残差收益率和残差风险，尽管其比值相等。所以：信息率不依赖于投资经理的激进程度。（实践中，这个论断最终由于投资约束的限制而不再成立。）
信息率依赖时间尺度。为了避免混乱，统一使用1年作为时间尺度。根据预期收益率和风险的时间尺度换算容易推导出信息率时间尺度换算：
\[ \mathrm{IR}_{年度} = \sqrt{12} \ \mathrm{IR}_{月度} = \sqrt{\frac{1}{\Delta t}} \ \mathrm{IR}_{\Delta t} \]后验信息率：对业绩的衡量
后验证信息率，是（年化）实现残差收益率对（年化）实现残差风险的比值。在后验情况中，考虑的是某段历史时期的上实现的信息率。
实现的信息可能（经常）是负值。
第１７章关于“后验信息率”更多讨论的剧透：后验信息率和回归分析中的阿尔法的 \(t\) 统计量有关。如果回归分析所用数据的长度为Y年，那么：
\[ \mathrm{IR} \approx \frac{t统计量}{\sqrt{Y}} \]残差前沿：投资经理的机会集
信息率为主动投资经理定义了一条“预算约束”，其直观图像就是残差前沿：
\[ \alpha_P = \mathrm{IR} \ \omega_P \]残差前沿描述了主动投资经理的机会集。先验信息率决定了主动投资经理的残差前沿。残差前沿是通过原点和组合Ｑ的一条直线，业绩基准组合和无风险资产都落在原点上。
偏好曲线：主动投资经理的目标函数
如果忽略了业绩基准择时，那么主动管理目标的是最大化残差收益率附加值：
\[ \mathrm{IR}[P] = \alpha_P - \lambda_R \omega_P^2 \]有时附加值也被称作：确定性等价收益率。
最优投资组合的残差风险水平
信息率描述了主动投资经理可选机会集，主动投资经理需要在机会集中挑选附加值最大的那个投资组合：
\[ \begin{aligned} & \underset{P}{\max} \ \{\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2\} \\ s.t. & \alpha_P = \mathrm{IR}\ \omega_P \end{aligned} \]解得最优残差风险水平：
\[ \omega^*=\dfrac{\mathrm{IR}}{2 \lambda_R} \]直观理解：最优投资组合 \(P^*\) 落在残差前沿和偏好曲线的切点处。
最大附加值：风险调整残差收益率
前面得到最优残差风险，进而算出在可选机会集中最大的附加值：
\[ \mathrm{VA}^* = \mathrm{VA}[\omega^*] = \frac{\mathrm{IR}^2}{4 \lambda_R} = \frac{\omega^* \mathrm{IR}}{2} \]因此，投资经理的信息率决定了他创造附加值的潜力。
信息率是主动管理的关键。
最优投资组合
用组合头寸重新表示附加值优化问题：
\[ \mathrm{VA} = \underset{\boldsymbol{h}_P}{\max} \ \{ \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{h}_P - \lambda_R \boldsymbol{h}_P^T \boldsymbol{V\!R} \ \boldsymbol{h}_P \} \]此优化问题的的最优解：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{h}_P &= \dfrac{1}{2 \lambda_R} \boldsymbol{V\!R}^{-1} \alpha = \dfrac{1}{2 \lambda_R} (\boldsymbol{V}-\sigma_B^2 \boldsymbol{\beta} \ \boldsymbol{\beta}^T)^{-1} \alpha \\ &= \beta_P \boldsymbol{h}_B + \dfrac{\mathrm{IR}^2}{2 \lambda_R} \boldsymbol{h}_A \quad (此为最优头寸的变形分解) \end{aligned} \]由此可见，组合A是寻找最优残差头寸的关键。
【特别说明】我们发现最优解的分解式中，如果将 \(\beta_P\) 理解成任意常数，都不影响最优附加值。这是因为一旦任意选定 \(\beta_P=\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{h}_P\) ，而最优解 \(\boldsymbol{h}_P\) 是确定的，进而可以反过来选择某个业绩基准组合 \(\boldsymbol{h}_B\) （非唯一选择）。其中的关键是：最优解 \(\boldsymbol{h}_P\) 是确定。这意味着，最优附加值也是确定的，而不受 \(\beta_P\) 选择的影响， \(\beta_P\) 的不同选择，影响的仅仅是业绩基准组合的选择。但是一旦确定了业绩基准组合B， 组合A就为附加值提供完全的贡献，而业绩基准组合B对附加值就毫无贡献。
单位贝塔值有效前沿
第２章附录中提及的有效前沿，全称是全额投资有效前沿。类似地，给定预期收益率的，具有单位贝塔值的最小风险组合，被称作单位贝塔有效前沿。
基于单位贝塔的约束，推导出单位贝塔有效前沿的收益率/方差方程，要比第２章推导全额投资有效前沿的收益率/方差方程容易的多。因为我们很容易列出如下关系：
\[ \begin{aligned} \sigma_P^2 = \sigma_B^2 + \omega_P^2 \\ f_P = f_B + \alpha_P \\ \omega_P^2 = \dfrac{\alpha_P^2}{\mathrm{IR}^2} \end{aligned} \]其中，业绩基准组合B就是单位贝塔值组合中风险最小的组合，必然落在单位贝塔有效前沿曲线上。第３个等式，如果你认真解这个单位贝塔有效前沿的优化化问题，会发现单位贝塔有效前沿上的任何组合P都可写成业绩基准组合B和组合A的线性表示，进而说明单位贝塔有效前沿上的所有组合都具有最高信息率。
根据上述三个关系，立刻可写出单位贝塔有效前沿的收益率/方差方程：
\[ \sigma_P^2 = \sigma_B^2 + \frac{1}{\mathrm{IR}^2} (f_P-f_B)^2 \]主动头寸组合Y：无主动现金并无主动贝塔
- 组合C的残差组合CR：
- 主动头寸组合Y：
- 组合Y的性质：
- 组合Y的贝塔值等于0，即 \(\beta_Y=0\) ；
- 组合Y的总方差和残差方差： \(\sigma_Y^2=\omega_Y^2=1-\left (\dfrac{\mathrm{IR}_C}{\mathrm{IR}} \right )^2\) ；
- 组合Y的阿尔法值为： \(\alpha_Y = \mathrm{IR} \left[ 1-\left (\dfrac{\mathrm{IR}_C}{\mathrm{IR}} \right )^2 \right]\) ；
- 组合Y的现金头寸为零，即 \(e_Y=0\) ；
- 组合Y的信息率为： \(\mathrm{IR}_Y= \mathrm{IR} \sqrt{ 1-\left (\dfrac{\mathrm{IR}_C}{\mathrm{IR}} \right )^2 }=\mathrm{IR} \sqrt{ 1- Corr^2\{\theta_Q,\theta_C\}}\) 。
最优无主动贝塔且无主动现金组合
考虑在无主动现金和无主动贝塔的约束下的一个组合优化问题：
\[ \begin{aligned} &\underset{\boldsymbol{h}_P}{\max} \ \{ \alpha^T \boldsymbol{h}_P - \lambda_R \boldsymbol{h}_P^T \ \boldsymbol{V\!R} \ \boldsymbol{h}_P\} \\ s.t. & \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{h}_P = 1 \quad (无主动贝塔)\\ & \boldsymbol{e}^T \boldsymbol{h}_P = e_B \quad (无主动现金) \end{aligned} \]根据第１个约束条件，及其推论 \(\boldsymbol{h}_P=\boldsymbol{h}_B+\boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}\) ，上述优化问题可重写成：
\[ \begin{aligned} &\underset{\boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}}{\max} \ \{ \alpha^T \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}} - \lambda_R \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}^T \ \boldsymbol{V} \ \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}\} \\ s.t. & \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}} = 0, \quad \boldsymbol{e}^T \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}} = 0 \end{aligned} \]利用拉格朗日乘子法，并结合组合A、组合B和组合C的定义，以及之间的关系，可求得最优解：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}} = \dfrac{\mathrm{IR}^2}{2 \lambda_R} \boldsymbol{h}_A + \phi \ \boldsymbol{h}_B + \pi \ \boldsymbol{h}_C \\ \pi = \dfrac{- \alpha_C}{2 \ \lambda_R \ \omega_C^2} \\ \phi = - \pi \ \beta_C \end{aligned} \]回代并整理得：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}} &= \dfrac{\mathrm{IR}}{2 \lambda_R} (\dfrac{\boldsymbol{h}_A}{\omega_A}-\dfrac{\mathrm{IR}_C}{\mathrm{IR}}\dfrac{\boldsymbol{h}_C-\beta_C \boldsymbol{h}_B}{\omega_C}) \\ &\overset{\Delta}{=} \dfrac{\mathrm{IR}}{2 \lambda_R} (\dfrac{\boldsymbol{h}_A}{\omega_A}-\dfrac{\mathrm{IR}_C}{\mathrm{IR}}\dfrac{\boldsymbol{h}_{\mathrm{CR}}}{\omega_C}) \\ &\overset{\Delta}{=} \dfrac{\mathrm{IR}}{2 \lambda_R} \boldsymbol{h}_Y \end{aligned} \]由此可见，组合Y与寻找最优无主动贝塔且无主动现金的组合密切相关。