第四章超常收益率、业绩基准和附加值

2018-05-22

| 量化投资 | | 投资 , capm , 业绩基准 , 风险 , 收益 , 效用 |

CAPM提供一致预期收益率，多因子模型可以帮助控制风险。本章讨论如何进行预期收益率的预测，并概述如何将预测转化成投资组合。

业绩基准

业绩基准组合的别称：标杆、规范组合。业绩基准组合是投资管理机构化的产物。

弃用市场组合，转而使用业绩基准组合。在新的分析框架下，贝塔、残差风险都是相对某个业绩基准组合而言。

主动头寸是组合头寸与业绩基准头寸之差：

\boldsymbol{h}_{P\!B} = \boldsymbol{h}_P - \boldsymbol{h}_B

主动方差则是主动头寸收益率的方差：

\psi_P^2 = \boldsymbol{h}_{P\!B}^T \boldsymbol{V} \ \boldsymbol{h}_{P\!B} = \sigma_P^2 + \sigma_B^2 - 2 \sigma_{P,B}

如果我们使用相对业绩基准的贝塔和相对业绩基准的残差收益率，即：

\boldsymbol{r}_P = \boldsymbol{\beta} \ r_B + \boldsymbol{\theta}_P

那么主动方差可以改写成：

\psi_P^2 = \beta_{P\!B}^2 \sigma_B^2 + \omega_P^2

其中， $\beta_{P\!B}$ 是主动贝塔（即 $\beta_P-1$ ）， $\omega_P$ 是残差风险。

选择业绩基准将有助于把预期收益率分解成不同的组成部分。

预期收益率的组成

预期收益率的预测值可分解为四个部分：无风险部分（时间溢价）、业绩基准部分（风险溢价）、基准择时部分（超常业绩基准收益率）、阿尔法部分（预期残差收益率）。设 $\boldsymbol{R}=(R_1,\dots,R_N)^T$ 代表资产的总收益率向量，那么：

\mathrm{E} \boldsymbol{R} = \boldsymbol{i}_F + \boldsymbol{\beta} \ \mu_B + \boldsymbol{\beta} \ \mathrm{\Delta}f_B + \boldsymbol{\alpha}

时间溢价 $\boldsymbol{i}_F$ 　投资者放弃其它投资一年所获得的回报。可以事先确定时间溢价。
风险溢价 $\boldsymbol{\beta} \ \mu_B$ 　其中 $\mu_B$ 是业绩基准的预期超额收益率，估计的方法之一：用极长期（７０年以上）平均值。
超常业绩基准收益率 $\boldsymbol{\beta} \ \mathrm{\Delta}f_B$ 　其中 $\mathrm{\Delta}f_B$ 衡量了业绩基准在临近的未来时期上的预期超额收益率与长期预期超额收益率之差。
阿尔法 $\boldsymbol{\alpha}$ 　预期残差收益率 $\boldsymbol{\alpha}=\mathrm{E} \boldsymbol{\theta}$

上述四个部分的几种常用组合：

一致预期超额收益率 $\boldsymbol{\beta} \ \mu_B$ 　
预期超额收益率 $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{\beta} \ \mu_B + \boldsymbol{\beta} \ \mathrm{\Delta}f_B + \boldsymbol{\alpha}$
预期超常收益率 $\boldsymbol{\beta} \ \mathrm{\Delta}f_B + \boldsymbol{\alpha}$ 　主动管理的关键。第一项衡量了基准择时收益，第二项衡量了选股收益。

管理总风险和总收益率

预期超额收益率的一致预测：

\boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\beta} \ \mu_B

此时，具有最高夏普率的全额投资组合就是业绩基准B。

预测超额收益率的主动管理预测：

\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\beta} \ f_B + \boldsymbol{\alpha}

此时，具有最高夏普率的全额投资组合就是组合Q（就是第２章技术附录中的组合Ｑ）。业绩基准Ｂ不在有效前沿上，存在战胜组合Ｂ的机会，那就是组合Q。 $\boldsymbol{f}$ 偏离一致预测的程度由 $$f_B$$ 偏离一致预测 $\mu_B$ 的程度和 $\alpha$ 偏离0的程度决定。

总收益率/总风险权衡

这种权衡就是使用传统的均值/方差目标函数来指导组合挑选，这种权衡标准称为预期效用，表示为 $$U[P]$$ ，定义为：

U[P] = f_P - \lambda_T \sigma_P^2

其中，等号右边第一项是预期超额收益率，第二项是风险惩罚项，参数 $\lambda_T$ 衡量了对总风险的厌恶程度。这里的总风险包括系统性风险（源自业绩基准）和残差风险（源自资产选择）。

剩下的任务就是求解一个优化问题：

\underset{P}{\max} \ U[P]

再求解这个优化问题前，还需要确定 $\lambda_T$ 。不妨合理假设在如下两种情况下的优化问题具有相同的参数 $\lambda_T$ ：

１）允许组合中持有现金，那么有效前沿将由无风险组合F到组合Q的直线段构成，即：

\begin{aligned} f_P = \beta_P f_B \\ \sigma_P^2 = \beta_P^2 \sigma_B^2 \end{aligned}

于是优化问题变成：

\underset{\beta_P}{\max} \ \{ \beta_P \ f_B - \lambda_T \beta_P^2 \sigma_B^2 \}

$\beta_P$ 最优解是：

\beta_P=\dfrac{f_B}{2 \lambda_T \sigma_B^2}

２）并且，没有额外信息（ $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{\mu},\ \ \beta_P=1$ ），进而获得 $\lambda_T$ 的一个合理表达式：

\lambda_T=\frac{\mu_B}{2 \sigma_B^2}

进而 $\beta_P$ 最优解可改写成：

\beta_P=1+ \frac{\mathrm{\Delta}f_B}{\mu_B}

其中 $\mathrm{\Delta}f_B=f_B-\mu_B$ 被称作超常业绩基准收益率的预测。

一旦确定了参数 $\lambda_T$ ，就可回过头求解目标优化问题：

\begin{aligned} & \underset{P}{\max} \ U[P] \\ & = \underset{\boldsymbol{h}_P}{\max} \ \{ \boldsymbol{f}^T \boldsymbol{h}_P - \lambda_T \boldsymbol{h}_P^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{h}_P \} \end{aligned}

头寸 $\boldsymbol{h}_P$ 最优解是：

\begin{aligned} \boldsymbol{h}_P &= \dfrac{1}{2 \lambda_T} \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{f} \\ &= \dfrac{1}{2 \lambda_T \sigma_q^2} \boldsymbol{h}_q = \dfrac{e_q}{2 \lambda_T \sigma_q^2} \boldsymbol{h}_Q \\ &= \dfrac{f_Q}{2 \lambda_T \sigma_Q^2} \boldsymbol{h}_Q \end{aligned}

如果将超额收益率分解成系统部分和残差部分，那么头寸 $\boldsymbol{h}_P$ 最优解可改写成：

\begin{aligned} \boldsymbol{h}_P &= \dfrac{f_B}{2 \lambda_T} \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\beta} + \dfrac{1}{2 \lambda_T} \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\ &= \dfrac{f_B}{2 \lambda_T \sigma_B^2} \boldsymbol{h}_B + \dfrac{1}{2 \lambda_T \sigma_A^2} \boldsymbol{h}_A \\ &= \beta_P \boldsymbol{h}_B + \dfrac{1}{2 \lambda_T \sigma_A^2} \boldsymbol{h}_A \overset{\Delta}{=} \beta_P \boldsymbol{h}_B + \dfrac{\mathrm{IR}}{2 \lambda_T} \boldsymbol{h}_A \end{aligned}

其中 $\mathrm{IR}$ ，是第５章将要讨论的信息率：预期残差收益率与残差风险的比值（形式上类似“夏普率”的概念）。

在总风险/总收益率分析框架下，较低水平的信息也会导致很高水平的残差风险。

效用函数的分解

组合持仓权重 $\boldsymbol{h}_P$ 的分解：

\boldsymbol{h}_P = \beta_P \boldsymbol{h}_B + \boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}

其中， $\boldsymbol{h}_{\mathrm{PR}}$ 被称作残差头寸。

超额收益率预测 $$f$$ 的分解：

\begin{aligned} f_P &= \beta_P f_B + \alpha_P \\ &= f_B + \beta_{\mathrm{PB}} f_B + \alpha_P \\ &= f_B + \beta_{\mathrm{PB}} \mu_B + \beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta} f_B + \alpha_P \end{aligned}

其中：

$$f_B$$ ，预期业绩基准超额收益率；
$\beta_{\mathrm{PB}} \mu_B$ ，主动贝塔 $\times$ 一致预期产生的收益率；
$\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta} f_B$ ，主动贝塔 $\times$ 超常预测产生的收益率；
$\alpha_P$ ，股票阿尔法，即选股产生的收益率。
组合方差 $\sigma_P^2$ 的分解：

\begin{aligned} \sigma_P^2 &= \beta_P^2 \sigma_B^2 + \omega_P^2 \\ &= (1+\beta_{\mathrm{PB}})^2 \sigma_B^2 + \omega_P^2 \\ &= \sigma_B^2 + 2 \beta_{\mathrm{PB}} \sigma_B^2 + \beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2 + \omega_P^2 \end{aligned}

其中：

$\sigma_B^2$ ，业绩基准方差；
$2 \beta_{\mathrm{PB}} \sigma_B^2$ ，主动贝塔产生的协方差；
$\beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2$ ，主动贝塔产生的方差；
$\omega_P^2$ ，选股产生的方差。
效用函数一般形式的分解(第二个等号右边第３和４项分别 $\lambda_{\mathrm{BT}},\lambda_R$ 用分别代替 $\lambda_T$ )：

\begin{aligned} U[P] &= f_P - \lambda_T \sigma_P^2 \\ &= (f_B - \lambda_T \sigma_B^2) + \beta_{\mathrm{PB}} (\mu_B - 2 \lambda_T \sigma_B^2) + (\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta} f_B - \lambda_{\mathrm{BT}} \beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2) + (\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2) \end{aligned}

其中：

$f_B - \lambda_T \sigma_B^2$ ，业绩基准部分，纯粹的预测，与投资行为无关（不影响最优组合）；
$\beta_{\mathrm{PB}} (\mu_B - 2 \lambda_T \sigma_B^2 )$ ，交叉项，与投资行为相关，但没有预测；
$\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta} f_B - \lambda_{\mathrm{BT}} \beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2$ ，业绩基准择时，既包含预测，也与投资行为相关；
$\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2$ ，选股，，既包含预测，也与投资行为相关。

容易证明，无论 $\beta_{\mathrm{PB}}$ 如何选择，第二项都为0。于是效用函数可精确该写成：

U[P] = (f_B - \lambda_T \sigma_B^2) +(\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta} f_B - \lambda_{\mathrm{BT}} \beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2) + (\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2)

聚焦于附加值

再次观察目标效用函数的分解式：将风险和收益率拆分成三个部分：

内蕴部分， $f_B-\lambda_T \sigma_B$ 。这部分不在投资经理的掌控范围内。 $\lambda_T$ 是对总风险厌恶系数。
择时部分， $\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta}f_B-\lambda_{\mathrm{BT}} \beta_{\mathrm{PB}^2} \sigma_B^2$ 。它由投资经理主动贝塔决定。 $\lambda_{\mathrm{BT}}$ 是对业绩基准择时风险恶系数。
残差部分， $\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2$ 。它有投资经理的残差头寸产生。 $\lambda_R$ 是对残差风险恶系数。

其中内蕴部分如果确定了业绩基准组合和对总风险厌恶系数，那么是一个常数。所以后面两部分之和才与衡量了投资经理增加价值的能力有关，称之为附加值：

\mathrm{V\!A} = (\beta_{\mathrm{PB}} \mathrm{\Delta}f_B-\lambda_{\mathrm{BT}} \beta_{\mathrm{PB}^2} \sigma_B^2) + (\alpha_P - \lambda_R \omega_P^2)

附加值是一种风险调整预期收益率，忽略了业绩基准对风险和预期收益率的贡献。

业绩基准择时

业绩基准择时是指逐个时期选择合适的贝塔。

主动贝塔的最优水平（以 $\mathrm{VA}$ 第一部分最大为目标）：

\beta_{\mathrm{PB}} = \frac{\mathrm{\Delta}f_B}{2 \lambda_{\mathrm{BT}} \sigma_B^2}

非常高的业绩基准择时风险厌恶系数，或不进行业绩基准择时，都使得主动贝塔为0。

“主动管理基本定律"告诉我们：通过业绩基准择时产生显著附加值的机会较少。

主动收益率与残差收益率

主动收益率和风险：

\begin{aligned} r_{\mathrm{PB}} = r_P - r_B = \theta_P + \beta_{\mathrm{PB}} r_B \\ \psi_P = \mathrm{std}\{r_{\mathrm{PB}}\} = \sqrt{\omega_P^2 + \beta_{\mathrm{PB}}^2 \sigma_B^2 } \end{aligned}

特别地，如果不进行业绩基准择时，则有 $\beta_P=1,\ \beta_{\mathrm{PB}}=\beta_P-1=0$ ，进而主动收益率和风险就等于残差收益率和风险。

第四章 超常收益率、业绩基准和附加值