庞加莱群的单粒子态的表示

2020-05-12

| 理论物理 | | 李群 , 庞加莱群 , Casimir算符 |

本篇紧接上一篇笔记《半单李代数的Casimir不变算符》。

分两种情况（有质量、无质量）探讨单粒子的物理态表示。

本篇及上一篇笔记涉及的代码：https://gitee.com/chaoskey/notes/blob/master/code/0085.ipynb

庞加莱群的Casimir不变算符

下面的Julia代码有一个约定（其实以前的笔记涉及Julia代码时也默认用到这个约定）：

1）一个矢量（比如： $$P$$ ）默认是逆变矢量；协变矢量则对应记作 $$Pi$$ ；
2）逆变矢量的分量在Julia代码中以下标体现（因为上标会被解释成“幂次”）；而协变矢量的分量则可通过度规用逆变矢量的分量表出。

# 紧接上一篇笔记的Julia代码

#  四维evi-Civita记号
ε4= [ Sym((length(Set([i,j,k,l]))==4)*       #  存在重复指标，取0
    (-1)^(sum([i,j,k,l][σ]>[i,j,k,l][ρ]   
            for σ in 1:4,ρ in  1:4  if σ<ρ) % 2)) # 计算逆序数。偶数取1，奇数取-1
    for  i in 1:4, j in 1:4, k in 1:4,l in 1:4 ] ;

# 闵氏度规
η = sympy.diag(-1,1,1,1);
                            
# J:  两上标洛伦兹生成元矩阵
# Ji: 两下标洛伦兹生成元矩阵
J=[Sym(0) for i in 1:4 , j in 1:4];
J[2:4,2:4]=[sum(ε[k,i,j]*E[4+k] for k in 1:3) for i in 1:3,j in 1:3];
J[1,2:4]=-E[8:10];
J[2:4,1]=E[8:10];
Ji=[sum(J[μ,υ]*η[μ,ρ]*η[υ,σ] for μ in 1:4,υ in 1:4)  for ρ in 1:4,σ in 1:4];

# P:  逆变平移生成元
# Pi: 协变平移生成元
P=E[1:4];
Pi = [sum(η[υ,σ]*P[σ] for σ in 1:4) for υ in 1:4];

# W:  上标Pauli–Lubanski矢量
# Wi: 下标Pauli–Lubanski矢量
W=Sym(-1//2)*[sum(ε4[μ,υ,ρ,σ]*Ji[υ,ρ]*Pi[σ] 
        for υ in 1:4,ρ in 1:4,σ in 1:4) 
    for μ in 1:4];
Wi=Sym(-1//2)*[sum(ε4[μ,υ,ρ,σ]*J[υ,ρ]*P[σ] 
        for υ in 1:4,ρ in 1:4,σ in 1:4) 
    for μ in 1:4];

# 两个Casimir不变算符
PP = sum(P[μ]*Pi[μ] for μ in 1:4);
WW = sum(W[μ]*Wi[μ] for μ in 1:4);
[PP,WW] .|> simplify

@vars m ω  real=true  positive=true

# 有质量：m > 0
[PP,WW] .|> (expr->expr(P0=>m,P1=>0,P2=>0,P3=>0)) .|> simplify

# 零质量：m = 0
[PP,WW] .|> (expr->expr(P0=>ω,P1=>0,P2=>0,P3=>ω)) .|> simplify

代码执行结果及说明：

有质量粒子情况下的表示

考虑惯性标架下，质量 $\textcolor{red}{m}$ 和自旋 $\textcolor{red}{j}$ 的自由粒子。我们发现不变量 $W_\mu W^\mu$ 实际只和空间转动有关：

W_\mu W^\mu=-m^2 J^2

所以这个不变量实际对应李代数 $\textcolor{red}{A_1=\mathscr{so}(3)=\mathscr{su}(2)}$ ，前面的笔记曾计算过，对应的最高权是：

\boldsymbol{M}=j\boldsymbol{\alpha}

有【见上一篇笔记的第一段】：

\boldsymbol{M}\cdot(\boldsymbol{M} +2\boldsymbol{g})=j(j+1)\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\alpha}=\textcolor{red}{j(j+1)}

所以，两个Casimir不变算符的本征值是

\boxed{P_\mu P^\mu =-m^2\qquad W_\mu W^\mu=-m^2 j(j+1)}\\ m>0\quad j=0,1/2,1,\dots

以前的笔记还计算过李代数 $$A_1$$ 对应的维度是 $\textcolor{red}{(2j+1)}$ ，所以自旋 $\textcolor{red}{j}$ 有 $$(2j+1)$$ 个状态:

j_z=-j,-j+1,\dots,0,\dots,j-1,j

无质量粒子情况下的表示

对零质量的情况，平移生成元的分量可归结为：

P^\mu=(\omega,0,0,\omega)\quad P_\mu=(-\omega,0,0,\omega)

此时

W_\mu W^\mu=-\omega^2[(J^1-K^2)^2+(J^2+K^1)^2]

注意，这个不变量只和 $$x-y$$ 平面有关。不妨选择

A=K^1+J^2\quad B=K^2-J^1

于是有【根据 $\{J^1,J^2,J^3\}$ 的结构常数容易验证】

W_\mu W^\mu=-\omega^2(A^2+B^2)\\ \boxed{\textcolor{red}{[J^3,A]=i B,\quad [J^3,B]=-i A,\quad [A,B]=0}}

很明显，这是一个绕z轴旋转的李代数 $\textcolor{red}{\mathscr{so}(2)=\mathscr{su}(1)}$ 。

由于 $$A$$ 和 $$B$$ 是对易的，所以有共同本征矢（本征态）：

A|\boldsymbol{p}:a,b\rangle=a|\boldsymbol{p}:a,b\rangle,\quad B|\boldsymbol{p}:a,b\rangle=b|\boldsymbol{p}:a,b\rangle

然而，因为是 $$a,b$$ 非零的，就得到一个完全连续的谱（连续本征值）!

先考虑一个带参数 $\theta$ 的态：

|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle\overset{\Delta}{=}e^{-i\theta J^3}|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle

于是有：

\begin{aligned}\textcolor{blue}{A|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle}&=e^{-i\theta J^3}\left(e^{i\theta J^3}Ae^{-i\theta J^3}\right)|\boldsymbol{p}:a,b\rangle\\ &=e^{-i\theta J^3}\left(A\cos \theta-B\sin\theta\right)|\boldsymbol{p}:a,b\rangle\\ &=\left(A\cos \theta-B\sin\theta\right)|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle\\ &=\textcolor{blue}{\left(a\cos \theta-b\sin\theta\right)|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle}\end{aligned}

类似有：

\textcolor{blue}{B|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle}=\textcolor{blue}{\left(a\sin \theta+b\cos\theta\right)|\boldsymbol{p}:a,b,\theta\rangle}

这意味着，有一个连续的内部自由度 $\theta$ 。但是，对关于无质量粒子的观测并没有发现任何像 $\theta$ 这样的连续自由度，为了避免这些连续谱，我们必须要求 $$a=b=0$$ ：

A|\boldsymbol{p}:a,b\rangle=B|\boldsymbol{p}:a,b\rangle=0\\ \boxed{P_\mu P^\mu=0,\quad W_\mu W^\mu=0}

所以，这两个不变量的的本征值都不足以标记表示（区分物理态）。我们还注意到：

P_\mu W^\mu=0

因为

根据上面三个等于0的等式， $P^\mu,W^\mu$ 必须成比例：

\boxed{W^\mu=h P^\mu}

事实上，这个比例系数 $$h$$ 和角动量在z轴上的投影密切相关：

即

h=\frac{W^0}{P^0}=\textcolor{red}{-\frac{\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{P}}{P^0}}=-\boldsymbol{\hat{P}}\cdot \boldsymbol{J}=-J^3

这意味着：我们只能通过剩下的生成元 $$J^3$$ 的本征值 $\lambda$ 来区分物理态

J^3|\boldsymbol{p}:\lambda\rangle=\lambda|\boldsymbol{p}:\lambda\rangle

因为，对于任意一个阿贝尔群， $\mathrm{SO}(2)$ 的不可约表示是1维的，对应的生成元是在 $$(x,y)$$ 平面旋转的角动量 $$J^3$$ 。

注意到，无穷小算符 $J^3=\boldsymbol{\hat{P}}\cdot \boldsymbol{J}$ 对应有限小转动 $\mathrm{SO}(2)$ 群 $\exp^{i \theta \boldsymbol{\hat{P}}\cdot \boldsymbol{J}}$ 。因此， $\lambda$ 给出了 $\mathrm{SO}(2)$ 的幺正表示 $e^{i\theta\lambda}$ 。

到目前为止，尚没有任何理由阻止本征值 $\lambda$ 取任意实数，但有一些拓扑的原因使得与有质量粒子的情况一样只能取整数或半整数【我暂时不深究】:

\lambda=0,\pm\frac{1}{2},\pm 1,\pm\frac{3}{2},\dots

作为一个平面上的旋转，只有顺时针/逆时针两种可能，所以可用 $j=|\lambda|$ 加以标记。

至此可见，自旋 $j\ne0$ 的零质量粒子只有两个自旋自由度。对应得物理态可记作：

|\boldsymbol{p}:\lambda=\pm j\rangle

比如：光子( $$s=1$$ )态可记作 $|\boldsymbol{p}:\lambda=\pm 1\rangle$ ；中微子( $$s=1/2$$ )态可记作 $|\boldsymbol{p}:\lambda=\pm 1/2\rangle$ ；引力子( $$s=2$$ )态可记作 $|\boldsymbol{p}:\lambda=\pm 2\rangle$ 。