第七章 预期收益率和套利定价理论
评论
套利定价理论(APT)是资本资产定价模型(CAPM)在预测预期收益率上的一个有趣而强力的替代选择。
尽管CAPM抓住了最重要的角色－－市场，但是忽略了其它因素对预期收益率的影响，必然在某些时期会出现系统性缺陷。
APT是生成预期收益率的模型。
APT的应用是艺术，而非科学。
APT关注因子和预期收益率之间的关系。
APT的灵活性导致它不适合作为一致预期收益率的模型。
APT是主动投资经理的一个信息来源。
套利定价理论
和第３章的风险结构化模型类似，APT首先给超额收益率设定了一个因子模型：
\[ \boldsymbol{r} = \boldsymbol{X} \boldsymbol{b} + \boldsymbol{u} \]式中：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{r} &= (r_1,\dots,r_N)^T \quad r_i(t)资产i的\mathbf{超额收益率} \\ \boldsymbol{X} &= (X_{i,j})_{N \times K} \quad X_{i,j}(t)资产i对因子k的\mathbf{暴露度}(\mathbf{因子载荷}) \\ \boldsymbol{b} &= (b_1,\dots,b_K)^T \quad b_j(t)因子j的\mathbf{因子收益率} \\ \boldsymbol{u} &= (u_1,\dots,u_N)^T \quad u_i(t)资产i的\mathbf{特异收益率} \end{aligned} \]第３章关注的风险，这里我们关注预期收益率。
然后假设：
１） \(f_C>0\) ，因此组合Q存在且 \(f_Q>0\) ；
２）特异收益率 \(\boldsymbol{u}\) 和因子收益率 \(\boldsymbol{b}\) 互不相关；
３）因子暴露度矩阵 \(\boldsymbol{X}\) 在考察期初就完全确定地获知。
基于这些假设，超额收益率协方差可写成：
\[ \boldsymbol{V} = \boldsymbol{X} \boldsymbol{F} \boldsymbol{X}^T + \Delta \]式中：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{V} &= (V_{i,j})_{N \times N} \quad V_{i,j}资产i和资产j的超额收益率协方差 \\ \boldsymbol{F} &= (F_{i,j})_{K \times K} \quad F_{i,k}因子i和因子j的因子收益率协方差 \\ \boldsymbol{\Delta} &= (\Delta_{i,j})_{N \times N} \quad \Delta_{i,i}资产i特异收益率方差，通常假设是对角阵(不是必要) \end{aligned} \]我们用 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 来表示因子模型。
APT是关于预期超额收益率的，其表述为：预期超额收益率可用一组因子的暴露度来表达。换而言之，因子模型 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 解释了预期超额收益率向量 \(\boldsymbol{f}=\mathrm{E}\{\boldsymbol{r}\}\) ，如果存在因子预测向量 \(\boldsymbol{m}\) ，使得：
\[ \boldsymbol{f}=\boldsymbol{X}\ \boldsymbol{m} \]APT的推导
在第２章我们知道，预期超额收益率可用组合Q表达：
\[ \boldsymbol{f}=f_Q\frac{\boldsymbol{V} \boldsymbol{h}_Q}{\sigma_Q^2} \]进而，预期超额收益率可改写成：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{f}&=\kappa_Q \left(\boldsymbol{X}\boldsymbol{F}\boldsymbol{X}^T+\boldsymbol{\Delta} \right)\boldsymbol{h}_Q \\ 其中，\kappa_Q&=\dfrac{f_Q}{\sigma_Q^2} \end{aligned} \]令 \(\boldsymbol{m}^*=\kappa_Q \boldsymbol{F}\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{h}_Q\) ，则有：
\[ \boldsymbol{f}=\boldsymbol{X}\ \boldsymbol{m}^*+\kappa_Q \boldsymbol{\Delta}\ \boldsymbol{h}_Q \]这个表示已经很接近APT，但还不是我们要的 \(\boldsymbol{m}\) 。
为了推导出APT，我们还需要作一个更强的假设。首先定义：一个组合P被称作相对因子模型 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 充分分散，如果组合P在所有具有相同因子暴露度的组合中风险最低，即如下优化问题的最优解：
\[ \begin{aligned} \underset{\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}_P}{\min} \quad \boldsymbol{h}^T V \boldsymbol{h} \\ s.t. \quad \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{h} = \boldsymbol{x}_P \end{aligned} \]我们需要的更强假设是：组合Q相对因子模型 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 充分分散。
事实上，因子模型 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 能够解释预期超额收益率，当且仅当，组合Q相对因子模型 \((\boldsymbol{X},\boldsymbol{F},\boldsymbol{\Delta})\) 充分分散。
【充分性】用拉格朗日乘子法求解充分分散的最优化问题，将其一阶条件整理后就是：
\[ \boldsymbol{V}\ \boldsymbol{h}_Q=\boldsymbol{X}\ \boldsymbol{\pi} \]其中， \(\boldsymbol{\pi}\) 是拉格朗日乘子向量。带入到组合Q表示的预期超额收益率就得到我们要的因子预测向量 \(\boldsymbol{m}=\kappa_Q \boldsymbol{\pi}\) 。
【必要性】基本思路就是反证法，推导出一个错误：“存在比组合Q具有更高夏普率的组合”。
应用
１）结构化模型１：给定暴露度，估计因子收益率；
２）结构化模型２：给定因子收益率，估计暴露度；
３）结构化模型３：结构化模型１和２的结合；
４）统计模型１：主成份分析；
５）统计模型２：最大拟然因子分析；
６）统计模型３：统计模型２的对偶。