微分几何笔记

基础概念提要

本系列直接跳过了 拓扑、流形、张量等基础概念。为此，我特意先用纯文字按我的理解对一些基础概念进行提要（可能不严谨，着重提要而已）。

所谓拓扑，就是开集族。用集合的语言，通过三条公理严格定义开集。这三条公理就是：1）两个平凡开集；2）有限个开集交的封闭性；3）无限个开集并的封闭性。

所谓拓扑空间，就是定义了拓扑的集合。

所谓拓扑空间之间连续映射，就是指开集逆像必为开的映射。

所谓同胚映射，就是一一到上且正反都连续的映射。就纯拓扑空间而言，表示“像的不能再像”。

所谓闭集，就是补集为开的子集。

所谓拓扑空间连通性，就是指即开又闭的集合只有两个平凡开集(闭集)。

所谓微分流形，就是能被一组开集覆盖，每个开集同胚于一个欧氏空间，任意两个这种同胚映射的复合都是光滑的。

所谓切矢量（简称矢量），就流形上过某点的某条曲线的切矢。也可以看成是把函数变成实数并满足莱布尼兹律的线性映射。如果为流形上每点都指定一个切矢量，就构成一个矢量场。

至于对偶矢量，首先矢量也可以看成是把函数变成实数的线性映射，其次对偶矢量可看成把矢量变成实数线性映射。同时，矢量和对偶矢量还可以相互作用得实数，这个特点就是对偶。并且还可利用这个特点证明矢量空间和对偶矢量空间相互同构。

所谓张量，就是利用矢量和对偶矢量都是线性映射的特点，经过"多重组合"得到的多重线性映射。

所谓度规张量，就是对称非退化的(0,2)型张量。任何带度规的矢量空间都有正交归一基底。

1）现代物理基础丛书07-微分几何入门与广义相对论(上册.第2版)-梁灿彬＆周彬-科学出版社-2006

2）现代物理基础丛书25-微分几何入门与广义相对论(中册.第2版)-梁灿彬＆周彬-科学出版社-2009

3）现代物理基础丛书28-微分几何入门与广义相对论(下册.第2版)-梁灿彬＆周彬-科学出版社-2009

4）现代物理基础丛书02-物理学家用微分几何(第2版)－侯伯元&侯伯宇-科学出版社-2004

5）General Relativity（广义相对论）, Robert M.Wald, Chicago, 1984

6）通向实在之路：宇宙法则的完全指南-[英]罗杰·彭罗斯-王文浩(译)-湖南科学技术出版社-6月, 2008

7）Gravitation（引力论·大黑书）, Misner Thorne Wheeler , W.H.Freeman, 1973

8）Spinors and Space-Time Vol.1：Two-spinor calculus and relativistic fields（旋量与时空卷1：两旋量微积分与相对论场），R.Penrose W.Rindler，Cambridge，1984

9）The Theory of Spinors（旋量理论），Elie.Cartan ，Dover，1981

10）数学物理学百科全书(英文版.全5卷)-[法]费朗克斯-Elsevier出版-2007

12）典型群及其在物理学上的应用-[新西兰]B·G·怀邦-冯承天(译)-科学出版社-1982

13）物理学中的群论（上下合卷）-陶瑞宝-上海科学技术出版社-1986

14）李代数及其表示理论导引-[美]J.E.汉弗莱斯-陈志杰(译)-上海科学技术出版社-1981